Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits)

Lichnerowicz, André

Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les

*_{ν}

-produits)

Lichnerowicz, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 157-209 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Fondements de la théorie des $*_{v}$ -produits. Notion de $*_{v}$ -produit de Vey; tout $*_{v}$ -produit est équivalent à un $*_{v}$ -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte $(W, F)$ telle que $b_{3} (W) = 0$ , il existe des $*_{v}$ -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un $*_{v}$ -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.

On considère les variétés symplectiques $(W, F)$ sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie $G$ . Si $(W, F)$ admet une connexion linéaire $G$ -invariante, elle admet une connexion symplectique $G$ -invariante. Si $G$ est compact connexe et si $(W, F)$ admet un $*_{v}$ -produit, elle admet un $*_{v}$ -produit de Vey $G$ -invariant. Si $G$ est un groupe de Lie connexe, le groupe $T^{*} G$ admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par $G$ . Si $G$ est compact et si $T^{*} G$ admet un $*_{v}$ -produit, il admet un $*_{v}$ -produit de Vey bi-invariant par $G$ .

Foundations of the theory of the $*_{v}$ -products. Notion of Vey $*_{v}$ -product; each $*_{v}$ -product is equivalent to a Vey $*_{v}$ -product. Existence of Vey $*_{v}$ -products on each paracompact symplectic manifold such that $b_{3} (W) = 0$ . Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) $*_{v}$ -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.

We consider the symplectic manifolds $(W, F)$ on which a Lie group $G$ acts by symplectomorphisms. If $(W, F)$ admits a $G$ -invariant linear connection, it admits a $G$ -invariant symplectic connection. If $G$ is a connected compact Lie group and if $(W, F)$ admits a $*_{v}$ -product, it admits a $G$ -invariant Vey $*_{v}$ -product. If $G$ is a connected Lie group, the group $T^{*} G$ admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under $G$ . If $G$ is compact and if $T^{*} G$ admits a $*_{v}$ -product, $T^{*} G$ admits a Vey $*_{v}$ -product that is bi-invariant under $G$ .

Publié le : 1982-01-01

MR 83k:58095 | Zbl 0465.53025 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.865

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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1982__32_1_157_0/

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