Géométrie de la structure adjointe sur un groupe de Lie et algèbres de type 𝒫 1
Giraud, Georges
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 139-156 / Harvested from Numdam
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À partir de l’étude de l’intégrabilité de la structure adjointe sur un groupe de Lie 𝒢, on est amené à introduire l’algèbre de Lie h g des opérateurs symétriques du crochet de l’algèbre de Lie g de 𝒢. On fait apparaître une décomposition canonique de toute algèbre de Lie de centre nul en somme directe σ⊕b d’idéaux caractéristiques, où σ est somme de deux sous-algèbres abéliennes et où h b est formée d’opérateurs nilpotents.

Nous montrons que l’étude de la platitude à l’ordre 2 de la structure adjointe d’un groupe de Lie se ramène au cas où les opérateurs symétriques sont tous nilpotents.

The study of the integrability problem for the adjoint structure on a Lie group 𝒢 leads directly to that of the Lie algebra h g of symmetrical operators of the bracket in g the Lie algebra of 𝒢.

We point out a canonical splitting, for any Lie algebra without center, as a direct sum σ⊕b of characteristic ideals, where σ is a sum of two commutative sub-algebras and where h b is composed of nilpotent operators. We show that the two-order flatness study of adjoint structure on a Lie group, is reduced to the case where the symmetrical operators are all nilpotent.

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Giraud, Georges. Géométrie de la structure adjointe sur un groupe de Lie et algèbres de type ${\mathcal {P}}_1$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) pp. 139-156. doi : 10.5802/aif.864. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1982__32_1_139_0/

[1] C. Albert, Introduction à l'étude des variétés lisses, Thèse, Montpellier, (1974).

[2] C. Buttin et P. Molino, Théorème général d'équivalence pour les pseudo-groupes de Lie plats transitifs, J. of Diff. Geometry, (9) (1074), 347-354. | Zbl 0294.53029

[3] G. Giraud, Note aux C.R.A.S. t. 288 (23 avril 1979).

[4] G. Giraud et A. Medina, Existence de certaines connexions plates invariantes sur les groupes de Lie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, XXVII, Fasc. 4 (1977), 233-245. | Numdam | MR 58 #12812 | Zbl 0357.53031

[5] V. Guillemin, The integrability problem for G-structures, Trans. of Amer. Math. Soc., 116 (1965), 544-560. | MR 34 #3475 | Zbl 0178.55702

[6] N. Jacobson, Lie algebras, Interscience Publishers, (1962). | Zbl 0121.27504

[7] P. Molino, Sur quelques propriétés des G-structures, Journal of Diff. Geometry, (7) (1972), 489-518. | MR 54 #11419 | Zbl 0267.53019

[8] A. Pollack, The integrability problem for pseudogroup structures, J. of Diff. Geometry, (9) (1974), 355-390. | MR 50 #5867 | Zbl 0281.53030

[9] Singer-Sternberg, The infinite groups of Lie and Cartan, J. Ann. Math., Jerusalem, 15 (1965), 1-114. | MR 36 #911 | Zbl 0277.58008