Zeros of random functions in Bergman spaces

Shapiro, Joel H.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979), p. 159-171 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $μ$ une mesure positive invariante par rotation sur le disque unité ouvert $Δ$ , telle que le support de $μ$ contienne le cercle unité. Pour $0 < p < \infty$ l’ensemble des fonctions de $L^{p} (μ)$ qui sont holomorphes sur $Δ$ s’appelle l’espace de Bergman $A_{μ}^{p}$ . Nous montrons que, lorsque la série de puissances $f (z) = Σ ζ_{n} a_{n} z^{n}$ à coefficients gaussiens indépendants est presque sûrement dans $A_{μ}^{p} ∖ ⋃_{q > p} A_{μ}^{p}$ , alors il est presque sûr que : a) $Z (f)$ , ensemble des zéros de $f$ , n’est contenu dans aucun ensemble $Z A_{μ}^{q}$ (c’est-à-dire $Z (g)$ , $g \in A_{μ}^{q} ∖ {0}$ , $q > p$ ), et b) $Z (f + 1) \cup Z (f - 1)$ n’est contenu dans aucun $Z A_{μ}^{q}$ .

Suppose $μ$ is a finite positive rotation invariant Borel measure on the open unit disc $Δ$ , and that the unit circle lies in the closed support of $μ$ . For $0 < p < \infty$ the Bergman space $A_{μ}^{p}$ is the collection of functions in $L^{p} (μ)$ holomorphic on $Δ$ . We show that whenever a Gaussian power series $f (z) = Σ ζ_{n} a_{n} z^{n}$ almost surely lies in $A_{μ}^{p}$ but not in $⋃_{q > p} A_{μ}^{p}$ , then almost surely: a) the zero set $Z (f)$ of $f$ is not contained in any $A_{μ}^{q}$ zero set ( $q > p$ , and b) $Z (f + 1) \cup Z (f - 1)$ is not contained in any $A_{μ}^{q}$ zero set.

Publié le : 1979-01-01

MR 81h:30054 | Zbl 0403.46026

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.772

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Shapiro, Joel H. Zeros of random functions in Bergman spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) pp. 159-171. doi : 10.5802/aif.772. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1979__29_4_159_0/

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