Harmonic interpolating sequences, $L^p$ and BMO

Garnett, John B.

Harmonic interpolating sequences,

L^{p}

and BMO

Garnett, John B.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978), p. 215-228 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $(z_{ν})$ une suite de points du demi-plan supérieur ; si, pour $p$ tel que $1 < p \leq \infty$ , et pour toute suite $(a_{ν})_{ν \in N}$ dans $ℓ^{p} (N)$ il existe une fonction $f$ , intégrale de poisson d’une fonction de $L^{p} (R)$ qui vérifie :

y_{ν}^{1 / p} f (z_{ν}) = a_{ν}, ν = 1, 2, ... (*)

alors nous montrons que $(z_{ν}, ν \in N)$ est une suite d’interpolation pour $H^{\infty}$ . De même, si on fait l’hypothèse qu’il existe une solution $f$ , intégrale de Poisson d’une fonction de BMO qui vérifie $(*)$ avec $p = + \infty$ et $(a^{ν})$ dans $ℓ^{\infty} (N)$ , $(z_{ν})$ est encore une suite d’interpolation pour $H^{\infty}$ .

Un théorème un peu plus général est prouvé et on donne un contre-exemple dans le cas où $p \leq 1$ .

Let $(z_{ν})$ be a sequence in the upper half plane. If $1 < p \leq \infty$ and if

y_{ν}^{1 / p} f (z_{ν}) = a_{ν}, ν = 1, 2, ... (*)

has solution $f (z)$ in the class of Poisson integrals of $L^{p}$ functions for any sequence $(a_{ν}) \in ℓ^{p}$ , then we show that $(z_{ν})$ is an interpolating sequence for $H^{\infty}$ . If $f (z_{ν}) = a_{ν}$ , $ν = 1, 2, ...$ has solution in the class of Poisson integrals of BMO functions whenever $(a_{ν}) \in ℓ^{\infty}$ , then $(z_{ν})$ is again an interpolating sequence for $H^{\infty}$ . A somewhat more general theorem is also proved and a counterexample for the case $p \leq 1$ is described.

Publié le : 1978-01-01

MR 80g:30024 | Zbl 0377.46044

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.721

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Garnett, John B. Harmonic interpolating sequences, $L^p$ and BMO. Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) pp. 215-228. doi : 10.5802/aif.721. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1978__28_4_215_0/

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