On some ergodic properties for continuous and affine functions

Batty, Charles J. K.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978), p. 209-215 / Harvested from Numdam

Résumé

On résoud deux problèmes posés par Choquet et Foias:

(i) Soit $T$ un opérateur linéaire positif sur l’espace $C(X)$ des fonctions réelles continues sur un espace compact $X$. On montre que si la suite des moyennes $n^{-1}\sum ^{n-1}_{r=0} T^r1$ converge vers une fonction continue, la convergence est uniforme.

(ii) On donne un exemple de simplexe de Choquet $X$ et d’un opérateur linéaire positif $T$ sur l’espace $A(K)$ des fonctions réelles affines continues sur $K$, telles que

inf {(Tn1)(x):n≥}<1

pour tout $x$ de $\partial _\ell K$, bien que $\Vert T^n1\Vert $ ne converge pas vers 0.

Abstract

Two problems posed by Choquet and Foias are solved:

(i) Let $T$ be a positive linear operator on the space $C(X)$ of continuous real-valued functions on a compact Hausdorff space $X$. It is shown that if $n^{-1}\sum ^{n-1}_{r=0} T^r1$ converges pointwise to a continuous limit, then the convergence is uniform on $X$.

(ii) An example is given of a Choquet simplex $K$ and a positive linear operator $T$ on the space $A(K)$ of continuous affine real-valued functions on $K$, such that

inf {(Tn1)(x):n≥}<1

for each $x$ in $\partial _\ell K$, but $\Vert T^n1\Vert $ does not converge to 0.

Détail

Publié le : 1978-01-01

MR 80e:47007 | Zbl 0352.47003

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.710

Bibliographie

[1] G. Choquet and C. Foias, Solution d'un problème sur les itérés d'un opérateur positif sur C (K) et propriétés de moyennes associées, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 24, no. 3 & 4 (1975), 109-129. | Numdam | MR 53 #11017 | Zbl 0303.47004

[2] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, 2nd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl 0174.18601