Tuboïdes dans ${\bf C}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert

Bros, Jacques; Iagolnitzer, D.

Tuboïdes dans

𝐂^{n}

et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert

Bros, Jacques ; Iagolnitzer, D.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976), p. 49-72 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

On introduit une classe de domaines dans $C_{(z)}^{n} = R_{(x)}^{n} \times R_{(y)}^{n}$ appelés tuboïdes. Un tuboïde $D = \cup_{x \in Ω} (x, D_{x})$ de profil $Λ = \cup_{x \in Ω} (x, Λ_{x})$ est un domaine de $C_{(z)}^{n}$ dont chaque fibre $D_{x}$ (dans $R_{(y)}^{n})$ admet $Λ_{x}$ comme cône tangent à l’origine.

On montre dans la première partie que l’enveloppe d’holomorphie d’un tuboïde $\hat{D}$ de profil $\hat{Λ} = \cup_{x \in Ω} (x, {\hat{Λ}}_{x})$ où ${\hat{Λ}}_{x}$ est pour tout $x$ l’enveloppe convexe de $Λ_{x}$ . dans la deuxième partie, l’on montre alors que tout tuboïde $D$ dont le profil $Λ$ a toutes ses fibres $Λ_{x}$ convexes contient un tuboïde $D^{'}$ de même profil qui est de plus un domaine d’holomorphie. Ce résultat est une génération du théorème de Grauert [1] selon lequel tout domaine $Ω$ de $R_{(x)}^{n}$ admet une base de voisinages complexes qui sont des domaines d’holomorphie.

A class of domains in $C_{(z)}^{n} = R_{(x)}^{n} \times R_{(y)}^{n}$ , called “tuboids" is introduced. A tuboid $D = \cup_{x \in Ω} (x, D_{x})$ with profile $Λ = \cup_{x \in Ω} (x, Λ_{x})$ is a domain in $C_{(z)}^{n}$ such that every fiber $D_{x}$ (in $R_{(y)}^{n})$ admits the corresponding fiber $Λ_{x}$ of $Λ$ as its tangent cone at the origin.

In the first part, it is proved that the holomorphy envelope of a tuboid $D$ with profile $Λ$ contains a tuboid $\hat{D}$ whose profile $\hat{Λ}$ is the union of the convex hulls of all the fibers of $Λ$ . In the second part, it is shown that for every tuboid $D$ there exists a tuboid $D^{'} \subset D$ which has the same profile as $D$ and is a holomorphy domain. A special case of this result is a theorem by Grauert according to which every real domain $Ω$ admits a basis of complex neighbourhoods which are holomorphy domains.

Publié le : 1976-01-01

MR 55 #698 | Zbl 0336.32003 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.625

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Bros, Jacques; Iagolnitzer, D. Tuboïdes dans ${\bf C}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) pp. 49-72. doi : 10.5802/aif.625. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1976__26_3_49_0/

Bibliographie

[1] H. Grauert, Ann. Math., série 2, 68, (1958), 460-472 ; cette propriété a d'abord été démontrée pour Ω = Rn par H. Cartan, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957) 77-100.

[2] J. Bros et D. Iagolnitzer, Ann. Inst. Henri Poincaré, Section A, Vol. XVIII no 2 (1973) 147-184. et Proc. Marseille Meeting on Renormalization theory (june 1971). | Numdam | Zbl 0286.42016

[3] H. Komatsu, A local version of Bochner's tube theorem, Journal Fac. of Science, Tokyo, I-A 19 (1972), 201-214. | MR 47 #5297 | Zbl 0239.32012

[4] E. Andronikof, “Valeurs au bord de fonctions holomorphes se recollant “loin du réel”. Thèse (1974), Université Paris-Nord-St-Denis (Départ. de Mathématiques).

[5] cf. par exemple : P. Lelong, Cours sur la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (Saclay, 1960).