Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan

Quê, Ngô van ; Rodrigues, A.A.M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975), p. 251-280 / Harvested from Numdam

Résumé

De même qu’avec les groupes de Lie, à tout pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ il est associé de façon naturelle une algèbre de Lie $L(\theta )$, qui est une sous-algèbre de Lie fermée de l’algèbre de Lie $D$ de tous les champs de vecteurs formels de $R^n$, l’algèbre $D$ étant munie de la topologie définie par la filtration naturelle de l’algèbre des séries formelles. Le troisième théorème fondamental de Cartan dit qu’inversement étant donnée une sous-algèbre de Lie transitive fermée $L$ de l’algèbre $D$, il existe un pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ tel que son algèbre de Lie associée soit isomorphe à $L$. On précise dans ce travail les principaux arguments de Cartan, utilisés pour la démonstration de ce théorème, dans le cadre actuel du développement de la théorie des pseudo-groupes de Lie. On y démontre aussi les théorèmes dits de réalisation relative et homogène dont le résultat peut se résumer ainsi : si $\theta $ est un pseudo-groupe de Lie analytique et transitif sur $R^n$, alors pour toute sous-algèbre fermée $H$ de $L(\theta )$ telle que son normalisateur dans $L(\theta )$ soit une algèbre de Lie filtrée transitive, il existe un sous-pseudo-groupe infinitésimal $\theta _0$ de $\theta $, ayant son algèbre de Lie associée isomorphe à $H$.

Abstract

In a same way as in the theory of Lie groups, one can associate to any Infinitesimal Lie Pseudogroup $\theta $ over $R^n$ a Lie algebra $L(\theta )$, which is a closed sub-Lie algebra of the algebra $D$ of all formal vector fields on $R^n$, the algebra $D$ possessing the topology defined by the natural filtration of the algebra of formal power series. The third theorem of Cartan states that inversely given any closed and transitive Lie sub-algebra $L$ of $D$, there is an Infinitesimal Lie Pseudogroup $\theta $ over $R^n$ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to $L$. In this work we reformulate the main arguments of Cartan proving this theorem in the actual development state of the theory of Lie Pseudogroups. We prove also the following result: let $\theta $ be an analytic and transitive infinitesimal Pseudogroup over $R^n$. Then for any closed Lie sub-algebra $H$ of $L(\theta )$, whose normalisator in $L(\theta )$ is a filtred transitive algebra, there is an infinitesimal Lie sub-pseudogroup $\theta _0$ of $\theta $ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to $H$.

Détail

Publié le : 1975-01-01

MR 54 #14020 | Zbl 0297.17005

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.551

Bibliographie

[1] E. Cartan, Sur la structure des groupes infinis de Transformations, Oeuvres complètes, partie II, Vol. 2, Gauthiers-Villars ed. 571-714. La structure des groupes infinis, idem, 1335-1384.

[2] H. Goldschmidt, Sur la structure des équations de Lie : Le troisième théorème fondamental, partie I, Journal Diff. Geometry, 6 (1972), 357-373. partie II, idem Vol. 7 (à paraître). | MR 46 #923 | Zbl 0235.58011

[3] V.W. Guillemin and S. Sternberg, An algebraic model of transitive differential geometry, Bull. Amer. Math. Soc., 70 (1964), 16-47. | MR 30 #533 | Zbl 0121.38801

[4] I. Hayashi, Embedding and existences theorems of infinite algebras, Journ. Math. Soc. of Japan, 22 (1970), 1-14. | MR 42 #1163 | Zbl 0182.36402

[5] A. Kumpera, A theorem on Cartan Pseudogroups, Topologie et Géom. différentielle, Séminaire Ehresmann, Vol. VI (1964), exp. 7. | Numdam | Zbl 0161.02602

[6] A. Kumpera and D.C. Spencer, Lie Equations, Volume I : General theory, Ann. of Math. Studies, 73 (1972), Princeton Univ. Pres. | MR 52 #1805 | Zbl 0258.58015

[7] M. Kuranishi, On the local theory of continuous infinite pseudo-groups II, Nagoya Mathematical Journal, vol. 19 (1961). | MR 26 #263 | Zbl 0212.56501

[8] M. Kuranishi, Lectures on involutif systems of partial differential equations, Instituto de Pesquisas Matemáticas, Universidade de São Paulo, 1967. | Zbl 0163.12001

[9] M. Kuranishi et A.A.M. Rodrigues, Quotients of Pseudogroups by Invariant Fiberings, Nagoya Math. Journal, 24 (1964), 109-128. | MR 29 #5962 | Zbl 0163.45301

[10] B. Malgrange, Equations de Lie, Journ. Diff. Geom., 6 (1972), 503-522., 7 (1972) 117-141. | Zbl 0264.58009

[11] Y. Matsushima, On a theorem concerning the prolongation of a differential system, Nagoya Math. J. 6 (1953), 1-16. | MR 15,428j | Zbl 0052.31905

[12] A. Petitjean, Prolongements d'homomorphismes d'algèbres de Lie filtrées transitives (à paraître). | Zbl 0284.17004

[13] A. Petitjean et A.A.M. Rodrigues, Correspondance entre algèbres de Lie abstraites et Pseudo-groupes de Lie transitifs, Ann. of Math. (à paraître). | Zbl 0333.22010

[14] Ngô Van Quê, Du prolongement des espaces fibrés et des structures infinitésimales, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, (1967), 157-223. | Numdam | MR 36 #4468 | Zbl 0157.28506

[15] D.G. Quillen, Formal properties of overdetermined systems of linear partial differential equations, Thesis, Harvard 1964.

[16] D.S. Rim, Deformation of transitive Lie algebras, Ann. of Math., 83 (1966), 339-357. | MR 33 #7463 | Zbl 0136.43104

[17] A.A.M. Rodrigues, CR. Acad. Sciences de Paris, Série A i) 15/12/1968, 1154-1155. ii) 22/12/1969, 2211-2213. iii) 19/01/1970, 192-194. | Zbl 0209.25901

[18] A.A.M. Rodrigues, On a category of infinite Lie groups (à paraître).

[19] I.M. Singer and S. Sternberg, The infinite groups of Lie and Cartan : I — the transitive groups, Journ. Analyse Math., 15 (1965), 1-114. | MR 36 #911 | Zbl 0277.58008

[20] D.C. Spencer, Deformation of structures on manifolds defined by transitive continuous pseudogroups, I-II, Ann. of Math., 76 (1962), 306-445. III, idem 81 (1965), 389-450. | Zbl 0192.29603

[21] D.C. Spencer, Over-determined Systems of linear partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 179-239. | MR 39 #3533 | Zbl 0185.33801