Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques

Fuglede, Bent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974), p. 77-91 / Harvested from Numdam

Résumé

On montre d’abord que toute fonction finement [hyper]harmonique dans un ouvert du plan ${\bf R}^2$ est [hyper]harmonique au sens ordinaire. On utilise pour cela un nouveau principe de minimum pour un domaine borné, $U$, du plan, avec des limites fines à la frontière, mais sans aucune hypothèse de minoration pour la fonction hyperharmonique donnée, $u$, dans $U$. Puis on étend ce dernier principe au cas de $U$ finement ouvert (et borné) et $u$ finement hyperharmonique. Aucun de ces résultats ne s’étend aux espaces ${\bf R}^k$ avec $k>2$. Enfin, on caractérise la notion d’harmonicité fine par une propriété locale d’approximation par des restrictions de fonctions harmoniques ordinaires.

Abstract

It is shown first that every finely [hyper]harmonic function in an open subset of the plane ${\bf R}^2$ is [hyper]harmonic in the usual sense. This depends on a new boundary minimum principle for a bounded domain $U$ in the plane, using fine limits at the boundary, but without making any assumption on the magnitude of the negative part of the given hyperharmonic function $u$ in $U$. Afterwards this minimum principle is extended to the case where $U$ is just finely open (and bounded) and $u$ finely hyperharmonic. None of these results extends to the spaces ${\bf R}^k$ for $k>2$. Finally the notion of fine harmonicity is characterized by a property of local approximation by restrictions of usual harmonic functions.

Détail

Publié le : 1974-01-01

MR 51 #3490 | Zbl 0287.31003 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.532

Bibliographie

[1] H. Bohr, Über ganze transzendente Funktionen von einem besonderen Typus, Sber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., (1929), 565-571. | JFM 55.0189.03

[2] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques, Ann. Éc. Norm. Sup., 61 (1944), 301-332. | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[3] M. Brelot, Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes, Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945), 55-70. | Numdam | MR 7,205a | Zbl 0061.22804

[4] M. Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière, Math. Nachr., 4 (1950-1951), 298-307. | MR 13,35b | Zbl 0042.10603

[5] M. Brelot, Recherches axiomatiques sur un théorème de Choquet concernant l'effilement, Nagoya Math. J., 30 (1967), 39-46. | MR 35 #5650 | Zbl 0156.12302

[6] C. Constantinescu and A. Cornea, Potential Theory in Harmonic Spaces. Berlin, 1972.

[7] B. Fuglede, Connexion en topologie fine et balayage des mesures, Ann. Inst. Fourier, 21, 3 (1971), 227-244. | Numdam | MR 49 #9241 | Zbl 0208.13802

[8] B. Fuglede, Finely Harmonic Functions, Lecture Notes in Mathematics no 289 (Springer). Berlin, 1972. | MR 56 #8883 | Zbl 0248.31010

[9] B. Fuglede, Asymptotic paths for subharmonic functions (à paraître dans les Math. Ann.). | Zbl 0283.31001

[10] B. Fuglede, Remarks on fine continuity and the base operation in potential theory (à paraître dans les Math. Ann.). | Zbl 0273.31014