Espaces harmoniques sans potentiel positif

Anandam, Victor

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 97-160 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article on étudie les fonctions surharmoniques dans un espace $\Omega $ muni de la théorie axiomatique des fonctions harmoniques avec les axiomes 1, 2, 3 de M. Brelot, en supposant que les constantes sont harmoniques dans $\Omega $ et qu’il n’existe pas de potentiel $>0$ dans $\Omega $. Ainsi, dans la théorie axiomatique, on se propose de chercher à étendre les particularités du cas plan et quelques résultats sur les surfaces de Riemann du type parabolique. On démontre premièrement, en utilisant une notion de flux à l’infini introduite par M. Nakai dans le cas axiomatique, que dans $\Omega $ pour tout $x$ il existe une fonction surharmonique dans $\Omega $ de support $x$. Alors, on a été amené à approfondir dans ce cas les notions de flux, d’un ensemble localement polaire, de balayage bien connues dans le cas plan. Ensuite on introduit la notion de fonctions harmoniques à l’infini comme fonctions harmoniques et bornées au voisinage du point à l’infini ; cela conduit à une notion de dimension harmonique à l’infini dans la théorie axiomatique qui fournit d’importants compléments.

Abstract

In this article, starting with the axioms 1,2,3 of Brelot in the axiomatic potential theory with constants harmonic, one studies the properties of super harmonic functions when there does not exist any potential $>0$ in the space $\Omega $. Thus in the axiomatic case, the theory is developed to include the special features of the potential theory in the plane and some particular results from the parabolic Riemann surfaces. On using the notion of flux at infinity introduced by Nakai in the axiomatic case, first it is proved that for every $x$ in $\Omega $ there exists a superharmonic function in $\Omega $ with support $x$. Then, some well-known notions in the potential theory in the plane like flux, case. The notion of functions harmonic at infinity is introduced, as being functions harmonic and bounded in a neighborhood of the point at infinity; this leads to the notion of harmonic dimension at infinity in the axiomatic case which has many important consequences.

Détail

Publié le : 1972-01-01

MR 50 #2536 | Zbl 0235.31015 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.436

Bibliographie

[1] L. Ahlfors et L. Sario, Riemann surfaces, Princeton, (1960). | MR 22 #5729 | Zbl 0196.33801

[2] H. Bauer, Propriétés fines des fonctions hyperharmoniques dans une théorie axiomatique du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble t. 15/1 (1965), 137-154. | Numdam | MR 32 #7772 | Zbl 0127.05401

[3] M. Brelot, Fonctions sousharmoniques et balayage, Bull. Ac. royale de Belgique, t. XXIV (1938), 421-436. | JFM 64.0478.02 | Zbl 0019.30903

[4] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques. Ann. Ec. Norm. Sup., t. 61 (1944), 301-332. | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[5] M. Brelot, Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 1 (1949), 121-156. | Numdam | MR 12,258e | Zbl 0036.06901

[6] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel. 4e édition, C.D.U., Paris (1969).

[7] M. Brelot, Lectures on potential theory. T.I.F.R., Bombay, 1960 (re-issued 1967). | Zbl 0098.06903

[8] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques. Cours d'été 1965, Montréal, Les Presses de l'Université (1966). | Zbl 0148.10401

[9] M. Brelot et G. Choquet, Espaces et lignes de Green, Ann. Inst. Fourier, t. 3 (1951), 199-263. | Numdam | MR 16,34e | Zbl 0046.32701

[10] C. Constantinescu et A. Cornea, On the axiomatic of harmonic functions I. Ann. Inst. Fourier, t. 13/2 (1963), 377-388. | Numdam | MR 29 #2416 | Zbl 0122.34001

[11] A. Cornea, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 264 A (1970), 190. | Zbl 0151.16202

[12] M. Heins, The conformal mapping of simply-connected Riemann surfaces, Ann. of Math., t. 50 (1949), 686-690. | MR 11,93d | Zbl 0037.05503

[13] M. Heins, Riemann surfaces of infinite genus. Ann. of Math., t. 55 (1952), 296-317. | MR 13,643d | Zbl 0046.08702

[14] Mme R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, t. 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[15] P. A. Loeb, An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential équations, Ann. Inst. Fourier, t. 16/2 (1966), 167-208. | Numdam | MR 37 #3039 | Zbl 0172.15101

[16] B. Rodin et L. Sario, Principal functions. Van Nostrand, 1968. | MR 37 #5378 | Zbl 0159.10701

[17] B. Walsh, Flux in axiomatic Potential Theory I. Inventiones Math. t. 8/3 (1969). | MR 42 #532 | Zbl 0179.15203