Intégrales de résolvantes et calcul symbolique

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 239-264 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_f$ un prolongement de la fonction $f(z^{-1})$ à $({\bf C}\backslash {\bf R}^*\cup \lbrace \infty \rbrace )$, on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant ${\bf R}^*$ et qui vérifie $\sup _{\lambda >0}\Vert (I+\lambda V)^{-1}\Vert < \infty $, un opérateur $H_f(V)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$. On montre que l’on a $\sigma ^e[H_f(V)] = H_f[\sigma ^e(V)]$ (où $\sigma ^e$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_f$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f\ne 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_f(V)$ est un potentiel abstrait.

Abstract

Let $f$ be a Stieltjes transform. If $H_f$ is an extension to $({\bf C}\backslash {\bf R}^*\cup \lbrace \infty \rbrace )$ of $f(z^{-1}$, for every Banach space $X$ and every closed densely defined operator $V$ on $X$ with a resolvent set containing ${\bf R}^*$ and satisfying the condition $\sup _{\lambda >0}\Vert (I+\lambda V)^{-1}\Vert < \infty $, we define on $X$ an operator $H_f(V)$ which has similar properties as $V$. We show that $\sigma ^e[H_f(V)] = H_f[\sigma ^e(V)]$ (where $\sigma ^e$ is the extended spectrum). Furthermore, the operator $H_f$ has excellent stability properties. For example, when $f\ne 0$ and $V$ is an abstract potential, $H_f(V)$ is an abstract potential also.

Détail

Publié le : 1972-01-01

MR 51 #3958 | Zbl 0235.47007 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.439

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