Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris

Neveu, Jacques

Neveu, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 85-130 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.

Given a transition probability $P = (P (x, A); x \in E, A \in 𝒜)$ on a separable measurable space $(E,)$ , we study minorations of the form

U_{h} (x, d y) \geq a (x) m (d y)

for the potential operators $U_{h} = \sum_{N} (P M_{1 - h})^{n} P$ , where $h$ denotes a measurable function from $E$ to $(0, 1)$ and where $M_{k}$ is the multiplication operator by $k$ . We show for instance that if $P$ verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive $h$ for which $U_{h} \geq 1 \otimes μ$ , where $μ$ is the $P$ -invariant measure. This result allows us 1) to define positive $σ$ -finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.

Publié le : 1972-01-01

MR 52 #1889 | Zbl 0226.60084 | 17 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.414

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Neveu, Jacques. Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) pp. 85-130. doi : 10.5802/aif.414. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1972__22_2_85_0/

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