Approximation de fonctions différentiables sur certains espaces de Banach

Moulis, Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971), p. 293-345 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $E$ un espace de Banach séparable de dimension infinie ; le sujet de cette étude est l’approximation de fonctions de classe $C^k$ définies sur un ouvert $\Omega $ de $E$ à valeurs dans un espace de Banach $F$ par des fonctions de classe $C^\infty $. Le principal résultat est : si $E$ est un espace de Hilbert, l’ensemble des applications de classe $C^\infty $ de $\Omega $ dans $F$ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^{2k-1}$ muni de la $C^k$ topologie fine. Comme corollaire, on montre que l’étude des variétés hilbertiennes de classe $C^k$ se ramène à celles des variétés de classe $C^\infty $.

Enfin, on montre que l’ensemble des fonctions de Sard de classe $C^\infty $ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^1$ muni de la $C^1$ topologie fine. (Une application est dite de Sard si le complémentaire de l’ensemble des valeurs critiques est intersection dénombrable d’ouverts denses.) On en déduit comme corollaires des théorèmes de transversalité.

Abstract

Let $E$ be a separable Banach space, infinite dimensional; I approximate $C^k\!$-functions defined on an open set $\Omega $ of $E$, by $C^\infty $-functions. The main result is: let $E$ be Hilbert space, the set of $C^\infty $ maps from $\Omega $ to a Banach space $F$ is dense is the set of $C^{2k-1}$ maps from $\Omega $ to $F$ for the $C^k$ fine-topology. As a corollary, I prove that the classification of $C^k$-structures on a Hilbert-manifold is equivalent to the classification of $C^\infty $-structures.

Finally, I approximate $C^1$ functions in the sense of $C^1$ fine topology by $C^\infty $ Sard functions (The set of critical values is countable intersection of dense open sets).This has important applications in transversality theorems.

Détail

Publié le : 1971-01-01

MR 51 #11573 | MR 375379 | Zbl 0271.41025 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.400

Bibliographie

[1] R. Abraham et J. Robbin, Transversal mappings and flows (Benjamin). | Zbl 0171.44404

[2] R. Bonic et J. Frampton, Smooth functions on Banach manifolds, Journal of Mathematics and Mechanics, 15 (1966), 877-895. | MR 33 #6647 | Zbl 0143.35202

[3] N. Bourbaki, Topologie générale, chapitre IX.

[4] A. Douady, Le problème des modules sur les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné, Annales Institut Fourier, Grenoble 16-1 (1966), 1-95. | Numdam | MR 34 #2940 | Zbl 0146.31103

[5] J. Eells and K. D. Elworthy, Open embeddings on certain Banach manifolds. A paraître aux Annals of Mathematics. | Zbl 0198.28804

[6] J. Eells et Mac-Alpin, An approximate Morse-Sard theorem, Journal of Mathematics and Mechanics, 17 (1967), 1055-1064. | Zbl 0159.24901

[7] K. D. Elworthy, Frodholm maps and GL-(E) structures, Bull. Amer. Math. Soc., 74 (1968), 582-586. | MR 36 #7160 | Zbl 0159.25102

[8] N. H. Kuiper et B. Terpstra, Differentiable closed embeddings of Banach manifolds, Conference in honor of G. de Rham Springer Verlag (1970), 118-125. | MR 41 #9300 | Zbl 0193.24001

[9] N. H. Kuiper et D. Burghelea, Hilbert manifolds, Annals of Mathematics, vol. 90, n° 3, 379-417. | Zbl 0195.53501

[10] C. Morlet, Le lemme de Thom et les théorèmes de plongement. Séminaire H. Cartan 14, 1961-1962, exposés 4-7. | Numdam | MR 160227 | Zbl 0121.39902

[11] J. R. Munkrees, Elementary differential topology, Annals of Mathematics Studies, n° 54 (1963). | MR 163320 | Zbl 0107.17201

[12] F. Quinn, Transversal approximation in Banach manifolds, à paraître aux "Proccedings Summer institute in Global Analysis", Berkeley, 1968. | Zbl 0206.25705

[13] S. Smale, An infinite dimensional version in Sard's theorem, American Journal of Mathematics, 87 (1965), 861-866. | MR 185604 | MR 32 #3067 | Zbl 0143.35301

[14] J. Wells, Differentiable functions in co, Bulletin Amer. Math. Soc., 75 (1969), 117-118. | MR 234273 | MR 38 #2590 | Zbl 0187.07402