Idéaux de fonctions différentiables. II

Tougeron, Jean-Claude ; Merrien, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970), p. 179-233 / Harvested from Numdam

Résumé

B. Malgrange a montré que l’idéal engendré par un ensemble fini de fonctions analytiques dans l’algèbre des fonctions de classe $C^\infty $ sur un ouvert de ${\bf R}^n$ est fermé. Par des techniques assez différentes de celles de B. Malgrange, nous étudions des propriétés de ce type, reliant l’analytique et le différentiable.

Plus précisément, si ${\bf E}_n$ (resp. ${\bf A}_n$) désigne des germes de fonctions de classe $C^\infty $ (resp. analytiques) au voisinage de l’origine de ${\bf R}^n$, et $\theta $ une fonction de classe $C^\infty $ de ${\bf R}^n$ dans ${\bf R}^p$, nous étudions, en utilisant des “stratifications” et des techniques homologiques, l’image $\theta ^*(\pi )$ dans ${\bf E}_n$ d’un idéal $\pi $ de ${\bf A}_p$. Nous montrons alors que certaines propriétés de $\pi $ sont “en général” conservées : fermeture, réduction et équidimensionnalité, normalité.

Abstract

B. Malgrange has shown that the ideal generated by a finite set of analytic functions in the algebra of functions of the class $C^\infty $ on an open set of ${\bf R}^n$ is closed. By quite different techniques than those of B. Malgrange we study properties of this sort while interrelating the analytic and the differentiable notions.

More precisely, if ${\bf E}_n$ (resp. ${\bf A}_n$) denotes the ring of germs of functions of $C^\infty $ (resp. analytic) in the neighborhood of the origin of ${\bf R}^n$, and $\theta $ is a function, of $C^\infty $, on ${\bf R}^n$ to ${\bf R}^p$, we study, using “stratifications” and homological techniques, the image $\theta ^*(\pi )$ in ${\bf E}_n$ of an ideal $\pi $ of ${\bf A}_p$. We show then that certain properties of $\pi $ are “in general” conserved : closure, reduction and equidimensionality, and normality.

Détail

Publié le : 1970-01-01

MR 58 #17185 | Zbl 0188.45201 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.341

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