Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Hervé, Rose-Marie; Hervé, Michel

Hervé, Rose-Marie ; Hervé, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969), p. 305-359 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme

- \sum_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + d_{j} u) + \sum_{i} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + c u = 0

les propriétés démontrées dans le cas $d_{i} = b_{i} = c = 0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $ε W_{0}^{1, 2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques $ε W_{0}^{1, 2}$ ou $W_{loc}^{1, 2}$ ainsi qu’une caractérisation des potentiels $ε W_{0}^{1, 2}$ qui sont les potentiels d’énergie finie.

L’étude est ici compliquée par le fait que la forme bilinéaire associée à l’opérateur n’est pas en général coercive, de sorte que les méthodes utilisées dans le cas $d_{i} = b_{i} = c = 0$ ne s’appliquent plus.

Local solutions and supersolutions of an elliptic equation

- \sum_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + d_{j} u) + \sum_{i} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + c u = 0

are shown to enjoy the same properties as in the case $d_{i} = b_{i} = c = 0$ , namely: local solutions are a system of harmonic functions satisfying Brelot’s axioms, with superharmonic functions coinciding a.e. with local supersolutions; a maximum principle holds for subharmonic functions majorized by functions in $ε W_{0}^{1, 2}$ ; the class of superharmonic functions in $ε W_{0}^{1, 2}$ or $W_{loc}^{1, 2}$ is stable by sweeping out; finally those potentials which belong to $ε W_{0}^{1, 2}$ are characterized by finite energies. The main difficulty lies in the fact that the bilinear form $〈 L u, ν 〉$ is not coercive in general, which implies the failure of the methods used in the case $d_{i} = b_{i} = c = 0$ .

Publié le : 1969-01-01

MR 41 #5647 | Zbl 0176.09801 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.320

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Hervé, Rose-Marie; Hervé, Michel. Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus. Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) pp. 305-359. doi : 10.5802/aif.320. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1969__19_1_305_0/

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