Theory of Bessel potentials. II

Adams, Robert ; Aronszajn, Nachman ; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967), p. 1-135 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe $P^a(R^n)$ aux domaines ouverts $D\subset R^n$. On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe $P^a(D)$ ainsi obtenue.

On attaque ce problème en définissant de manière directe (§ 2) une classe $\check{P}^a(D)\subset P^a(D)$ qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à $P^a(D)$.

L’égalité $P^a(D)=P^a(D)$ est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension $E:\check{P}^a(D)\rightarrow P^a(R^n)$, linéaire et continu, tel que $Eu$ soit une extension de $u$. Si un tel opérateur $E$ transforme continûment $\check{P}^a(D)$ dans $P^a(R^n)$ pour tous les $\alpha $ dans un intervalle ${\bf I}\subset [0,\infty )$, on parle d’une extension simultanée rel. ${\bf I}$ ; un domaine $D$ pour lequel une telle extension simultanée existe, appartient à la classe ${\bf E}({\bf I})$. On donne, dans les paragraphes 7, 10, 11, des théorèmes déterminant des classes très générales de domaines appartenant à ${\bf E}([0,\infty ))$.

En particulier, on obtient que tous les domaines bornés, localement lipschitziens, et tous les polyhèdres $n$-dimensionnels géométriques dont la frontière forme une variété $(n-1)$-dimensionnelle, appartiennent à ${\bf E}([0,\infty ))$. Pour les domaines convexes, non-bornés, on obtient des conditions géométriques simples, nécessaires et suffisantes pour qu’ils appartiennent à ${\bf E}([0,\infty ))$ (§ 12).

Détail

Publié le : 1967-01-01

MR 37 #4281 | Zbl 0185.19703 | 7 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.265

Bibliographie

[1] N. Aronszajn and H. G. Hardy, Properties of a class of double integrals, Ann. of Math. 46 (1945), 220-241. | MR 7,116b | Zbl 0060.14202

[2] N. Aronszajn, F. Mulla et P. Szeptycki, On spaces of potentials connected with Lp classes, Ann. de l'Inst. Fourier, Vol. XIII (1963), 211-306. | Numdam | MR 31 #5076 | Zbl 0121.09604

[3] O. V. Besov, On a family of functional spaces, Theorems about restrictions and extensions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 126, 6 (1959) 1163-1165. | Zbl 0097.09701

[4] A. P. Calderon, Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions, Proc. of Symposium in Pure Math. Vol. IV, Partial Differential Equations (1961), 33-49. | MR 26 #603 | Zbl 0195.41103

[5] A. P. Calderon, Proc. Symposium Diff. Equations, Berkeley, Calif. 1960.

[6] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, 2 Band Springer Verlag, 1938.

[7] E. Gagliardo, Caratterizzazioni della tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili, Rendiconti Sem. Mat. Padova, Vol. 27 (1957), 248-305. | Numdam | MR 21 #1525 | Zbl 0087.10902

[8] M. R. Hestenes, Extension of the range of a differentiable function, Duke Math. Journ. Vol. 8 (1941), 183-192. | JFM 67.0191.03 | MR 2,219c | Zbl 0024.38602

[9] L. Lichtenstein, Eine elementare Bemerkung zur reellen Analysis, Math. Zeitschrift, Vol. 30 (1929), 794-795. | JFM 55.0134.04

[10] S. M. Nikolskii, Theorems about restrictions, extensions and approximation of differentiable functions of several variables (Survey Article), Usp. Mat. Nauk. Vol. 16, 5 (1961), 63-114.

[11] R. T. Seeley, Extension of C∞ functions defined in a half-space, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 625-626. | MR 29 #2676 | Zbl 0127.28403

[12] L. I. Slobodeckii, Spaces of S. L. Sobolev of fractional order, Dokl. Akad. Nauk. SSSR., Vol. 118 (1958), 243-246. | Zbl 0088.30302

[13] M. H. Taibleson, Smoothness and differentiability conditions for functions and distributions in En, Dissertation. University of Chicago 1962.