Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites

Huet, Denise

Huet, Denise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), p. 61-150 / Harvested from Numdam

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Résumé

Ce travail apporte, par utilisation systématique de la méthode de résolution des problèmes aux limites de M. Lions, une contribution à l’étude de deux problèmes de perturbation singulière, qui entrent dans un nombre important de problèmes de physique mathématique et de mécanique.

Problème 1 (Chapitre I) : Soit $B_{ε}$ une famille d’opérateurs elliptiques dépendant du paramètre réel positif $ε$ , et se réduisant, pour $ε = 0$ , à un opérateur elliptique $B$ , d’ordre inférieur à celui des $B_{ε}$ . On montre que, sous des hypothèses convenables, lorsque $ε \to 0$ , la solution $u_{ε}$ d’un problème aux limites sur un ouvert $Ω$ de $R^{n}$ , relatif à $B_{ε} u_{ε} = f$ , converge vers la solution $u$ d’un problème aux limites sur $Ω$ , relatif à $B u = f$ , où $f$ est donnée. Exemples d’applications aux équations aux dérivées partielles. Amélioration de la convergence, localement et à la frontière, par utilisation des résultats de Friedrichs, Nirenberg et Browder. Convergence des valeurs propres et des fonctions propres de $B_{ε}$ .

Problème 2 (Chapitre II) : Désignons par $t$ une variable réelle $\geq 0$ , appelée temps, par $D$ l’opérateur $(\partial / \partial t)$ . Soit $B_{ε} (t)$ une famille d’opérateurs différentiels elliptiques en $x (x \in R^{n})$ , dépendant du temps, se réduisant, pour $ε = 0$ , à un opérateur différentiel elliptique en $x$ , $B (t)$ , dépendant du temps, d’ordre inférieur à celui des $B_{ε} (t)$ . Étude de la convergence, quand $ε \to 0$ , de la solution $u_{ε} (t)$ d’un problème mixte fin relatif à $B_{ε} (t) u_{ε} (t) + D u_{ε} (t)$ (resp. $D^{2} u_{ε} (t)$ ) $= h (t)$ , vers la solution $u (t)$ , d’un problème mixte fin relatif à $B (t) u (t) + D u (t)$ (resp. $D^{2} u (t)$ ) $= h (t)$ où $h (t)$ est donnée. Application aux équations aux dérivées partielles, et, lorsque $B_{ε}$ ne dépend pas de $t$ , aux semi-groupes.

Publié le : 1960-01-01

MR 22 #9737 | MR 118968 | Zbl 0128.32904 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.98

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Huet, Denise. Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites. Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960) pp. 61-150. doi : 10.5802/aif.98. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1960__10__61_0/

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