The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points
Bishop, Errett ; Leeuw, Karel De
Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), p. 305-331 / Harvested from Numdam
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Soit X un compact, B un espace vectoriel de fonctions numériques continues sur X (muni de la norme classique), séparant les points de X et contenant les constantes.

On note M(B) l’ensemble des x de X tels que toute mesure positive μ sur X pour laquelle on ait pour tout f∈B :

f(x)=∫fdμ

soit nécessairement la mesure de masse 1 portée par x.

On veut représenter les éléments de B * par des mesures portées par M(B) ; un théorème de Choquet en montre la possibilité lorsque X est métrisable. On le démontre ici autrement, ce qui redonne le théorème de Choquet, et permet d’étendre ce dernier au cas non métrique (dans ce cas on exige seulement de μ qu’elle soit portée par tout ouvert contenant M(B)).

On énonce également des résultats voisins pour des algèbres de fonctions continues à valeurs complexes.

Une série d’exemples montre qu’on ne peut pas améliorer les énoncés obtenus, par exemple imposer à μ d’être portée par M(B) lui-même dans tous les cas.

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Bishop, Errett; Leeuw, Karel De. The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points. Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959) pp. 305-331. doi : 10.5802/aif.95. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1959__9__305_0/

[1] R. Arens and I. Singer, Function values as boundary integrals, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 5 (1954), 735-745. | MR 16,373f | Zbl 0056.33501

[2] H. Bauer, Un problème de Dirichlet pour la frontière de Šilov d'un espace compact, C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 247 (1958), pp. 843-846. | Zbl 0083.09501

[3] E. Bishop, Some theorems concerning function algebras, Bull. Amer. Math. Soc., vol. 85 (1959), pp. 77-78. | MR 22 #190 | Zbl 0085.06502

[4] E. Bishop, A minimal boundary for function algebras, to appear in Pacific. Jour. Math. | Zbl 0087.28503

[5] H. Bohnenblust and S. Karlin, Geometrical properties of the unit sphere of Banach algebras, Ann. of Math., vol. 62 (1955), pp. 217-229. | MR 17,177a | Zbl 0067.35002

[6] N. Bourbaki, Integration, Eléments de Mathématiques, XIII, Book VI, Paris, 1952.

[7] G. Choquet, Existence des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes, C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 243 (1956), pp. 699-702. | MR 18,219b | Zbl 0071.10702

[8] G. Choquet, Existence des représentations intégrales dans les cônes convexes, C. R. Acad. Sci., Paris, Vol. 243 (1956), 736-737. | MR 19,399e | Zbl 0071.10703

[9] G. Choquet, Existence et unicité des représentations intégrales. Séminaire Bourbaki, Décembre 1956, 139-01 à 139-15. | Numdam | Zbl 0121.09204

[10] I. Glicksberg, The representation of functionals by integrals, Duke Math. Jour., vol. 19 (1952), pp. 253-261. | MR 14,288d | Zbl 0048.09004

[11] P. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950. | MR 11,504d | Zbl 0040.16802

[12] R. Kadison, A representation theory for commutative topological algebra, Mem. Amer. Math. Soc., n° 7. | Zbl 0042.34801

[13] J. Kelley, General topology, Van Nostrand, 1957.