Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel

Naïm, Linda

Naïm, Linda

Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), p. 183-281 / Harvested from Numdam

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Résumé

Le présent travail montre le rôle de la frontière de Martin dans deux questions importantes de la théorie du potentiel : allure à la frontière des fonctions surharmoniques $> 0$ et problème de Dirichlet.

On considère essentiellement un “espace de Green” $Ω$ , pourvu par définition d’une fonction de Green $G$ , et dont la réunion avec la frontière de Martin $Δ$ est l’espace de Martin $\hat{Ω}$ . Pour tout point $x_{0} \in Δ$ , on sait que la fonction de Green “normalisée” $\frac{G (x, y)}{G (x, y_{0})} (y \in Ω, y_{0} fixé \in Ω)$ , notée aussi $K (x, y)$ , admet pour $x \to x_{0}$ une limite $K (x_{0}, y)$ harmonique $> 0$ en $y$ , qui correspond biunivoquement à $x_{0}$ ; $x_{0}$ et $K (x_{0}, y)$ sont dits minimaux si toute fonction harmonique $> 0$ majorée par $K (x_{0}, y)$ lui est proportionnelle.

Après un premier chapitre de préliminaires où sont rappelées les notions indispensables pour la suite, on introduit, au chapitre II, la notion nouvelle d’effilement à la frontière de Martin : l’effilement d’un ensemble $E \subset U$ en un point $x_{0} \in Δ$ est caractérisé, si $x_{0}$ est adhérent à $E$ , par l’existence d’une mesure $m > 0$ sur $Ω$ telle que

\int K (x_{0}, y) d m (y) < \underset{x \to x, x \in E_{t}}{lim inf} \int K (x, y) d m (y) .

La théorie du balayage fournit des critères essentiels. On en déduit par exemple une caractérisation nouvelle des points minimaux, qui se trouvent être les points de $Δ$ où $Ω$ n’est pas effilé. Il en dérive une notion de pseudo-limite, plus faible que la limite selon la topologie de Martin, et utilisée de manière essentielle dans la présente étude ; la pseudo-limite en un point-frontière $x_{0}$ , nécessairement minimal, signifie la limite prise selon le filtre formé par les ensembles de complémentaire effilé en $x_{0}$ .

Le chapitre III étudie l’allure à la frontière $Δ$ d’une fonction surharmonique $ν > 0$ . On montre essentiellement que $\frac{ν (x)}{G (x, y_{0})}$ admet en tout point minimal une pseudo-limite $> 0$ finie en $+ \infty$ , et que, pour $x_{0}$ minimal, $\frac{ν (x)}{K (x_{0}, x)}$ admet en $x_{0}$ une pseudo-limite finie $\geq 0$ .

Puis, grâce à une étude de l’extrémisation d’une fonction harmonique $h < 0$ , on voit que si $ν$ est un potentiel de Green, $ν / h$ admet à la frontière une pseudo-limite nulle saut sur un ensemble $h$ -négligeable (c’est-à-dire de $h$ -mesure harmonique nulle). Le cas particulier du demi-espace est examiné en détail.

Le chapitre IV donne d’abord dans $\hat{Ω}$ une forme nouvelle et très améliorée du principe classique du maximum, où la condition-limite est imposée non sur un voisinage du point-frontière, mais seulement sur un ensemble non effilé en ce point.

Puis on étudie l’allure à la frontière de la solution du problème de Dirichlet avec la frontière de Martin, dit aussi problème de Dirichlet-Martin. Ici encore la notion de pseudo-limite se substitue à la limite ordinaire, et permet d’étendre les traits essentiels de la théorie classique.

Un dernier chapitre traite surtout des applications de la frontière de Martin à l’étude axiomatique du problème de Dirichlet pour des frontières générales. On établit l’équivalence de deux axiomatiques connues, et l’on étudie l’allure à la frontière de la solution dans le cas le plus général.

Puis par une correspondance convenable établie entre la frontière de Martin et toute frontière pour laquelle la théorie du problème de Dirichlet est possible, on ramène le problème de Dirichlet, le plus général à un problème analogue relatif à la frontière de Martin, soulignant ainsi le caractère en quelque sorte universel de cette frontière.

Cette correspondance entre les frontières a d’autres applications : par exemple, dans les domaines euclidiens plans ou bornés, les fonctions minimales sont nécessairement non bornées. On achève par quelques résultats généraux dans l’étude d’un phénomène connu “d’action à distance” dans le problème de Dirichlet.

Publié le : 1957-01-01

MR 20 #6608 | Zbl 0086.30603 | 21 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.70

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Naïm, Linda. Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel. Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957) pp. 183-281. doi : 10.5802/aif.70. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1957__7__183_0/

Bibliographie

[1] M. Brelot, Familles de Perron et problème de Dirichlet. Acta de Szeged, 9, 1939, p. 133-153. | JFM 65.0418.03 | MR 1,121d | Zbl 0023.23302

[2] M. Brelot, Sur l'allure à la frontière des fonctions harmoniques, sous-harmoniques, ou holomorphes. Bull. Soc. Royale des Sc. de Liège, n° 8-9-10, 1939, p. 468-477. | JFM 65.0419.04 | MR 1,122b | Zbl 0023.23401

[3] M. Brelot, Sur les ensembles effilés. Bull. Sc. Math., 68, 1944, p. 12-36. | MR 7,15e | Zbl 0028.36201

[4] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques. Annales Ecole Norm. Sup., 61, 1944, p. 301-332. | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[5] M. Brelot, Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités. Journal de Math., 24, 1945, p. 1-32. | MR 7,521e | Zbl 0061.22802

[6] M. Brelot, Sur la mesure harmonique et le problème de Dirichlet Bull. Sc. Math., 79, 1945, p. 153. | MR 7,522a | Zbl 0061.22803

[7] M. Brelot, Le problème de Dirichlet ramifié. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 22, 1946, p. 167-200. | Numdam | MR 8,581c | Zbl 0061.22902

[8] M. Brelot, Etude générale des fonctions harmoniques ou surharmoniques positives au voisinage d'un point-frontière irrégulier. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 22, 1946, p. 205-219. | Numdam | MR 8,581d | Zbl 0061.22805

[9] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 23, 1948, p. 113-138. | Numdam | MR 10,192b | Zbl 0030.25601

[10] M. Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière. Math. Nach., 4, 1950, p. 298-307. | MR 13,35b | Zbl 0042.10603

[11] M. Brelot, Remarque sur la variation des fonctions sousharmoniques et les masses associées. Application. Annales Institut Fourier, 2, 1950, p. 101-112. | Numdam | MR 13,458i | Zbl 0042.33604

[12] M. Brelot, La théorie moderne du potentiel. Annales Institut Fourier, 4, 1952, p. 113-140. | Numdam | MR 15,527a | Zbl 0055.08903

[13] M. Brelot, Majorantes harmoniques et principe du maximum. Archiv. der Math., 5, 1954, p. 429-440. | MR 16,356k | Zbl 0056.32504

[14] M. Brelot, On the behaviour of harmonic functions in the neighborhood of an irregular boundary point. Journal d'Analyse Math. de Jérusalem, 4, 1954-1956, p. 209-221. | MR 18,800b | Zbl 0071.10002

[15] M. Brelot, Topologies on the boundary and harmonic measure. Lectures on functions of a complex variable, Univ. of Michigan Press, 1955, p. 85-103. | MR 16,1108d | Zbl 0066.34503

[16] M. Brelot, Topology of R. S. Martin and Green lines. Lectures on functions of a complex variable, Univ. of Michigan Press, 1955, p. 105-121. | MR 16,1108c | Zbl 0068.06101

[17] M. Brelot, Le problème de Dirichlet avec la frontière de Martin C. R. Ac. Sc., 240, 1955, p. 142. | MR 16,923d | Zbl 0064.09901

[18] M. Brelot, Le problème de Dirichlet. Axiomatique et frontière de Martin. Journal de Math., 35, 1956, p. 297-335. | MR 20 #6607 | Zbl 0071.10001

[19] M. Brelot, Axiomatique du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts. Séminaire de Théorie du Potentiel, 1957. Institut H. Poincaré. Université de Paris. | Numdam

[20] M. Brelot et G. Choquet, Espaces et lignes de Green. Annales Institut Fourier, 3, 1951, p. 199-263. | Numdam | MR 16,34e | Zbl 0046.32701

[21] H. Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 22, 1946, p. 221-280. | Numdam | MR 8,581e | Zbl 0061.22701

[22] G. Choquet, Theory of capacities. Annales Institut Fourier, 5, 1954, p. 131-295. | Numdam | MR 18,295g | Zbl 0064.35101

[23] G. Choquet, Unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes réticulés. C. R. Ac. Sc., 243, 1956, p. 555. | MR 18,288k | Zbl 0071.10701

[24] G. Choquet, Existence des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes. C. R. Ac. Sc., 243, 1956, p. 699. | MR 18,219b | Zbl 0071.10702

[25] G. Choquet, Existence des représentations intégrales dans les cônes convexes. C. R. Ac. Sc., 243, 1956, p. 736. | MR 19,399e | Zbl 0071.10703

[26] J. Deny, Le principe des singularités positives et la représentation des fonctions harmoniques positives dans un domaine. Revue Scientifique, 1947, fasc. 14, p. 866-872. | MR 9,433a | Zbl 0029.26601

[27] J. L. Doob, Semimartingales and subharmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 77, 1954, p. 86-121. | MR 16,269a | Zbl 0059.12205

[28] J. L. Doob, Probability methods applied to the first boundary value problem. Proc. of the Third Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, 2, 1954-1955, p. 49-80 publié en 1956. | MR 18,941a | Zbl 0074.09101

[29] K. Endl, Sur des problèmes du type de Dirichlet utilisant les lignes de Green. C. R. Ac. Sc., 244, 1957, p. 1705. | MR 19,406b | Zbl 0082.31603

[30] Z. Kuramochi, Dirichlet problem for Riemann surfaces, I-II-III-IV-V. Proc. of the Japan Acad., Vol. 30, 1954, n° 8-9-10 et Vol. 31, 1955, n° 1. | Zbl 0058.30503

[31] C. De La Vallée Poussin, Points irréguliers, détermination des masses par les potentiels. Bull. Acad. Royale Sc. Belgique, 1938, p. 368-384 et 672-689. | JFM 64.0478.01 | Zbl 0019.21601

[32] Mme J. Lelong-Ferrand, Etude au voisinage de la frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espace. Annales Ecole Norm. Sup., 66, 1949, p. 125-159. | Numdam | Zbl 0033.37301

[33] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 49, 1941, p. 137-172. | JFM 67.0343.03 | MR 2,292h | Zbl 0025.33302

[34] C. Miranda, Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Ergebnisse der Math., Heft 2, Nouvelle Série, 1955, Springer, Berlin. | MR 19,421d | Zbl 0065.08503

[35] L. Naïm, Sur l'allure des fonctions surharmoniques positives à la frontière de Martin. C. R. Ac. Sc., 241, 1955, p. 1907. | MR 17,1073a | Zbl 0067.32803

[36] L. Naïm, Etude et applications de la notion d'effilement à la frontière de Martin. C. R. Ac. Sc., 242, 1956, p. 1107. | MR 17,1073b | Zbl 0074.31403

[37] L. Naïm, Propriétés et applications de la frontière de R. S. Martin. C. R. Ac. Sc., 242, 1956, p. 2695. | MR 17,1073d | Zbl 0072.31402

[38] L. Naïm, Sur l'allure à la frontière des fonctions harmoniques positives. C. R. Ac. Sc., 243, 1956, p. 1266. | MR 18,729e | Zbl 0072.10902

[39] M. Ohtsuka, Dirichlet problem for Riemann surfaces and conformal mappings. Nagoya Math. Journal, 3, 1951, p. 91-137. | MR 13,642f | Zbl 0043.30004

[40] M. Parreau, Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann. Annales Institu Fourier, 3, 1952, p. 103-197. | Numdam | MR 14,263c | Zbl 0047.32004

[41] G. Tautz, Zur Theorie der ersten Randwertaufgabe. Math. Nach., 2, 1949, p. 279-303. | MR 11,358b | Zbl 0037.07001