Functional spaces and functional completion

Aronszajn, Nachman ; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), p. 125-185 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles ${\cal F}$ dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble $A\subset {\cal E}$ appartenant à une classe ${\frak a}$ d’ensemble ($A$ variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle $\widetilde{\cal F}$ d’une classe fonctionnelle normée ${\cal F}$ (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet $\widetilde{\cal F}$ dont ${\cal F}$ soit un sous-espace dense). Le problème n’admet pas toujours de solution et même quand il en admet une, cette solution nécessite en général un élargissement de la classe exceptionnelle ${\frak a}$. La construction d’une telle classe élargie $\tilde{\frak a}$ forme la partie essentielle du problème. Pour une classe normée $ {\cal F}$ nous définissions des fonctions sous-additives $c_\varphi (B)$ d’un ensemble $B\subset {\cal E}$ (que nous appelons capacités ; les classes ${\mathop {\bf E}\limits }_B [c_\varphi (B) = 0]$ présentent des choix acceptables pour $\tilde{\frak a}$. Nous donnons aussi des conditions suffisantes simples (propriétés de majoration) qui assurent l’existence d’une complétion parfaite, c’est-à-dire avec une classe $\tilde{\frak a}$ minimale.

Les exemples du second chapitre servent à illustrer la signification et l’utilité des notions introduites dans le premier chapitre. Mentionnons l’exemple 3 où nos capacités servent à étendre le théorème de Fatou sous sa forme la plus précise aux fonctions harmoniques dans un domaine $n$-dimensionnel avec une frontière aux normales lipschitziennes (cette extension était connue même dans un cadre bien plus large mais sous une forme moins précise). Dans l’exemple 4 nous considérons les potentiels d’ordre $\alpha $ de M. Riesz. Nous montrons que dans ce cas notre capacité $c_2$ coïncide avec la capacité usuelle d’ordre $\alpha $. En combinant nos résultats avec des résultats récents de G. Choquet, nous prouvons que les capacités – extérieure et intérieure – d’ordre $\alpha $ sont égales pour les ensembles analytiques (ce fait n’était connu que pour $\alpha \le 2$).

Détail

Publié le : 1956-01-01

MR 18,319c | Zbl 0071.33003 | 8 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.63

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