Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble appartenant à une classe d’ensemble ( variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle d’une classe fonctionnelle normée (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet dont soit un sous-espace dense). Le problème n’admet pas toujours de solution et même quand il en admet une, cette solution nécessite en général un élargissement de la classe exceptionnelle . La construction d’une telle classe élargie forme la partie essentielle du problème. Pour une classe normée nous définissions des fonctions sous-additives d’un ensemble (que nous appelons capacités ; les classes présentent des choix acceptables pour . Nous donnons aussi des conditions suffisantes simples (propriétés de majoration) qui assurent l’existence d’une complétion parfaite, c’est-à-dire avec une classe minimale.
Les exemples du second chapitre servent à illustrer la signification et l’utilité des notions introduites dans le premier chapitre. Mentionnons l’exemple 3 où nos capacités servent à étendre le théorème de Fatou sous sa forme la plus précise aux fonctions harmoniques dans un domaine -dimensionnel avec une frontière aux normales lipschitziennes (cette extension était connue même dans un cadre bien plus large mais sous une forme moins précise). Dans l’exemple 4 nous considérons les potentiels d’ordre de M. Riesz. Nous montrons que dans ce cas notre capacité coïncide avec la capacité usuelle d’ordre . En combinant nos résultats avec des résultats récents de G. Choquet, nous prouvons que les capacités – extérieure et intérieure – d’ordre sont égales pour les ensembles analytiques (ce fait n’était connu que pour ).
@article{AIF_1956__6__125_0, author = {Aronszajn, Nachman and Smith, K. T.}, title = {Functional spaces and functional completion}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {6}, year = {1956}, pages = {125-185}, doi = {10.5802/aif.63}, mrnumber = {18,319c}, zbl = {0071.33003}, language = {en}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1956__6__125_0} }
Aronszajn, Nachman; Smith, K. T. Functional spaces and functional completion. Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956) pp. 125-185. doi : 10.5802/aif.63. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1956__6__125_0/
[1] La théorie générale des noyaux reproduisants et ses applications, Première Partie, Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 39 (1944), p. 133. | Zbl 0061.26204
.[2] Les noyaux pseudo-reproduisants. Noyaux pseudo-reproduisants et complétion des classes hilbertiennes. Complétion fonctionnelle de certaines classes hilbertiennes. Propriétés de certaines classes hilbertiennes complétées. C. R. Ac. Sci., Paris, vol. 226 (1948), pp. 456, 537, 617, 700. | Zbl 0030.36007
.[3] The Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods for approximation of eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space. II. Differential operators. Proc. Nat. Ac. Sci., vol. 34 (1948) pp. 474-480, 594-601. | MR 10,382a | Zbl 0031.40601
.[4] Theory of reproducing kernels. Trans. Am. Math. Soc., vol. 68 (1950), pp. 337-404. | MR 14,479c | Zbl 0037.20701
.[5] The Rayleigh-Ritz and the Weinstein methods for approximation of eigenvalues. Differential operators. Technical Report II to the Office of Naval Research (1950).
.[6] Green's functions and reproducing kernels. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and Differential Problems. (1951) Oklahoma A. and M. College, Stillwater, Oklahoma.
.[7] Approximation methods for eigenvalues of completely continuous symmetric operators. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and Differential Problems. (1951) Stillwater, Oklahoma. | Zbl 0067.09101
.[8] Functional spaces and functional completion. Technical Report 7 to the Office of Naval Research (1952).
.[9] The kernel function and conformal mapping. Mathematical Surveys 5, Amer. Math. Soc., (1950), New York. | MR 12,402a | Zbl 0040.19001
.[10] Intégration. Ac. Sci. Ind., 1175 Hermann, Paris (1952). | Zbl 0049.31703
.[11] Functions of several variables and absolute continuity, I. Duke Math. Journ., vol. 6 (1940), pp. 170-186. | JFM 66.1224.03 | MR 1,208e | Zbl 0026.39202
.[12] Sur les fondements de la théorie du potentiel. Bull. Soc. Math. de France, vol. 69 (1941), pp. 71-96. | JFM 67.0346.03 | Numdam | MR 7,447i | Zbl 0026.22703
.[13] Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels. Bull. Soc. Math. de France, vol. 73 (1945), pp. 74-106. | Numdam | MR 7,447h | Zbl 0061.22609
.[14] Capacitabilité. Theorèmes fondamentaux. C. R. Ac. Sci., vol. 234, Paris (1952), p. 784. | MR 13,633e | Zbl 0046.05704
.[14 a] Theory of capacities. Ann. de l'Inst. Fourier, vol. 5, Grenoble (années 1953-1954), pp. 131-295. | Numdam | MR 18,295g | Zbl 0064.35101
.[15] Les potentiels d'énergie finie. Acta Math., vol. 82 (1950) pp. 107-183. | MR 12,98e | Zbl 0034.36201
.[16] Spektraltheorie halbbeschraenkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren. Math. Ann., vol. 109 (1934) pp. 465-487, 685-713. Errata : Ibid., vol. 110 (1935), pp. 777-779. | JFM 60.1078.01 | Zbl 0009.07205
.[17] Potentiels d'équilibre et capacité des ensembles. Thesis. Lund (1935). | JFM 61.1262.02 | Zbl 0013.06302
.[18] Measure Theory. D. van Nostrand Co., New York (1950). | MR 11,504d | Zbl 0040.16802
.[19] Foundations of Potential Theory. Grundl. der Math. Wiss., vol. 31, Berlin (1929).
.[20] Functions of several variables and absolute continuity. II Duke Math. Journ., vol. 6 (1940). pp. 187-215. | JFM 66.1225.01 | MR 1,209a | Zbl 0026.39401
.[21] Sur une classe de fonctions considérées dans l'étude du problème de Dirichlet. Fund. Math., vol. 21 (1933), pp. 129-150. | JFM 59.0290.01 | Zbl 0008.15903
.[22] Sur les problèmes limites et les classes différentes de fonctions harmoniques et subharmoniques définies dans un domaine arbitraire. Rec. Math. Moscou. Vol. 6 (1939), pp. 345-375. | JFM 65.0420.02 | MR 2,57e | Zbl 0022.35003
and .[23] Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. Acta Szeged., vol. 9 (1938), pp. 1-42. | JFM 64.0476.03 | Zbl 0018.40704
.[24] Théorie des distributions, I, II. Ac. Sci. Ind., vols. 1091, 1122, Paris (1950, 1951). | MR 12,31d | Zbl 0042.11405
.[25] Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine ouvert limité par des surfaces à courbure bornée. Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa., vol. 2 (1933), pp. 167-197. | JFM 59.1136.02 | Numdam
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