Exposé des points essentiels avec une bibliographie importante bien que sommaire. Une première partie développe les théories de l’équilibre électrostatique, du balayage, de la capacité, des théorèmes de convergences : quatre grandes périodes marquées par la thèse de Frostman, les travaux de Cartan, la thèse de Deny, les travaux les plus récents de Cartan-Deny et de Choquet. Une seconde partie expose le problème de Dirichlet surtout selon Perron-Wiener-Brelot, les résultats de R.S. Martin, la théorie récente des lignes de Green et son application au principe de Dirichlet.
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Brelot, Marcel. La théorie moderne du potentiel. Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952) pp. 113-140. doi : 10.5802/aif.47. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1952__4__113_0/
[0] . Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im Verkehrten Verhältnisse des Quadrals der Entfernungwirkenden Anziehungs und Abstossungskräfte, Gauss Werke, t. 5, pp. 197-242. | JFM 21.0979.01
[1] . Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles (Medd. Lunds Un. Math. Sem., 3, 1935). | JFM 61.1262.02 | Zbl 0013.06302
[2] Pour la bibliographie ancienne, voir :
. Foundations of Potential Theory (Grundl. der Math. Wiss., Bd 31, Berlin, Springer, 1929). | JFM 55.0282.01
[3] . a) Fundamental points of potential theory (Rice Inst., Pamphlet, VII, 1920, pp. 252-329). | JFM 48.1268.01
. b) The logarithmic potential, discontinuous Dirichlet and Neumann problems (Am. Math. Soc. Coll. public., VI, 1927). | JFM 53.0453.02
[4] Voir une bibliographie dans : . Über die Singularitäten der Potentialfunktionen und der Integrale der differentialgleichungen vom elliptischen Typus (Sitz. der Berliner Math. Gesells., 31, 1932, pp. 46-54). | JFM 58.0492.01 | Zbl 0005.39901
[5] . Eine Neue Behandlung der ersten Randwertaufgaben für Δu = 0 (Math. Zeits., 18, 1923, pp. 42-54). | JFM 49.0340.01 | MR 1544619
[6] . a) Certain notions in potential theory (Mass. Inst. of Techn., II, n° 70, 1924, pp. 24-51 et J. de Math. and Phys., III, n° 1, 1924). | JFM 50.0646.03
. b) The Dirichlet problem (M.I.T., 1924 et J. Math. Phys., III, n° 3, 1924). | JFM 50.0646.02
. c) Note on a paper of O. Perron (M.I.T., n° 85, 1925 et J. Math. Phys., IV, n° 1, 1925).
[7] . a) Über die subharmonische Funktionen und ihre Rolle in der Funktionentheorie und in der Potentialtheorie (Acta Szeged, vol. II, fasc. 2, 1925, pp. 87-100). | JFM 51.0363.03
. b) Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel (Acta Math., t. 48, 1926, pp. 329-343 et t. 54, 1930, pp. 321-360). | JFM 52.0497.05
Signalons des précurseurs comme Poincaré et Hartogs.
[8] On trouvera un exposé détaillé de la théorie dans :
. Subharmonic functions (Erg. der Math., Bd 5, Heft I, Berlin, Springer, 1937). | JFM 63.0458.05 | Zbl 0016.24902
Cela contient en particulier la plupart des résultats du petit fascicule de M. Brelot (Act. sc. et ind., n° 139, 1934).
Voir des compléments ultérieurs dans :
. a) Fonctions sousharmoniques, presque sousharmoniques ou sous médianes (Ann. Un. Grenoble Math. Phys., t. 21, 1945, pp. 78-90). | Numdam | Zbl 0061.22606
. b) Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier (Ann. Inst. Fourier., t. I, 1949, pp. 121-156), avec une remarque de Pfluger dans le tome suivant. | Numdam | MR 12,258e | Zbl 0036.06901
Voir en langue russe :
. Fonctions sousharmoniques (Moscou, 1937).
Cette théorie se prolonge par celle de :
. Les fonctions plurisousharmoniques (Ann. E. N. S. 62, pp. 301-338). | Numdam | MR 8,271f | Zbl 0061.23205
[9] Extention de la méthode du balayage et problème de Dirichlet (Ann. Inst., H. Poincaré, 1932). | JFM 58.0509.03 | Numdam | Zbl 0004.11401
[10] Potentials of positive mass (Trans. Am. Math. Soc., 37, 1935, pp. 226-253) et vol. 38, pp. 201-236). | JFM 61.0529.03 | MR 1501785 | Zbl 0011.21201
[11] . Über die transfiniten Durchmesser (Kapazitäts Konstante) von ebenen und raümlichen Punktmengen (J. für die reine u. ang. Math., 165, 1931, pp. 4-49). | JFM 57.0094.03 | Zbl 0002.13601
On trouvera des extensions et d'intéressants développements connexes dans de nombreux articles de vers 1936-1939 et 1950, dans des revues polonaises, en particulier les Annales de la Soc. pol. de Math.
[12] . a) Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel et le problème généralisé de Dirichlet (Act. Sc. et Ind., n° 578, Paris, Hermann, 1937). | Zbl 0019.26203
. b) Potentiel et problème généralisé de Dirichlet (Math. Gazette, 22, 1938, pp. 17-36). | JFM 64.1161.05 | Zbl 0018.15201
Avec la même technique, voir un ouvrage d'ensemble tardivement publié :
. c) Le potentiel logarithmique, balayage et représentation conforme (Paris, Gauthier-Villars et Louvain, Librairie Univ. 1949). | Zbl 0037.34603
[13] . Intégrales de Riemann-Liouville et Potentiels (Acta Szeged, IX, 1938, pp. 1-42). (Rectification et compléments, t. X, p. 116). | JFM 64.0476.03 | Zbl 0018.40704
. Sur les fonctions surharmoniques d'ordre fractionnaire (Arkiv für Math. astr. fysik, 26 A, n° 16, 1939). | JFM 65.0421.04 | Zbl 0021.13103
[14] . Modern méthods of Analysis in potential theory (Bull. Am. Math. Soc., 1937, pp. 481-502). | JFM 63.0453.01 | Zbl 0020.13002
[15] La capacité intérieure a été seule utilisée longtemps sous le nom de capacité, les ensembles de capacité intérieure nulle étant les ensembles impropres de Bouligand-Vasilesco. Pour la bibliographie correspondante, voir : . La notion de capacité (Act. Sc. et Ind., n° 571, 1937). La capacité extérieure a été introduite à peu près en même temps et indépendamment par Beurling, Brelot, Monna, vers 1939 : | Zbl 0019.26202
. Ensembles exceptionnels. (Acta Math., t. 72, 1940, pp. 1-13). | JFM 66.0449.01 | MR 1,226a | Zbl 0023.14204
. Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel (J. de Math., t. 19, 1940, pp. 319-337) et antérieurement une note des C. R. Ac. Sc., t. 209, 1939, p. 828. | JFM 66.0447.01 | MR 3,47b | Zbl 0024.40301
. Sur la capacité des ensembles (Proc. Ac. Sc., Hollande, 43, 1940, n° 1). | JFM 66.0446.02 | MR 1,238b | Zbl 0023.39201
[16] . Sur la théorie autonome des fonctions sousharmoniques (Bull. Sc. Math., 65, 1941, pp. 78-98). | JFM 67.0349.01 | MR 7,15d | Zbl 0025.26602
[17] . a) Fonctions sousharmoniques et balayage (Bull. Ac. Royale de Belgique, 24, 1938, pp. 301-312 et 421-443). | JFM 64.0478.02 | Zbl 0019.21505
. b) Problème de Dirichlet et majorantes harmoniques (Bull. Sc. Math., mars-avril 1939). | JFM 65.0419.03 | Zbl 0021.13101
A (a) se rattache un travail important à divers points de vue :
. Points irréguliers, détermination des masses par les potentiels (Bull. Ac. Royale de Belgique, nov. 1938, n° 11, pp. 368-384 et 671-689). | JFM 64.0478.01 | Zbl 0020.13003
[18] . Critères de régularité et de stabilité (Bull. Ac. Royale de Belgique, t. 25, 1939, pp. 125-137). | JFM 65.1272.02 | MR 1,238d | Zbl 0023.12805
[19] a) Sur les fondements de la théorie du potentiel (Bull. Soc. Math. de France, 69, 1941, pp. 71-96). | JFM 67.0346.03 | Numdam | MR 7,447i | Zbl 0026.22703
b) La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes (Bull. Sc. Math, 66, 1942). | JFM 68.0211.02 | MR 6,86h | Zbl 0027.40401
c) Théorie du potentiel newtonien, énergie, capacité, suites de potentiels (Bull. Soc. Math. de France, t. 73, 1945, pp. 74-106). | Numdam | MR 7,447h | Zbl 0061.22609
b) Théorie générale du balayage en potentiel newtonien (Ann. Un. Grenoble, Math. Phys., t. 22, 1946, pp. 221-280). | Numdam | MR 8,581e | Zbl 0061.22701
[20] Travaux de , , , etc... faits dans l'isolement dû à la guerre. Voir une bibliographie dans :
. Étude sur la théorie du potentiel généralisé (Osaka Math. J., Vol. 2, 1950, pp. 63-103). | MR 12,410h | Zbl 0036.34105
[21] . Sur le potentiel et les suites de fonctions sousharmoniques (C. R. Ac. Sc., t. 207, 1938, p. 1157). | Zbl 0019.35101
[22] . Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (J. de Math., t. 24, pp. 1-32). | MR 7,521e | Zbl 0061.22802
Compléments dans les C. R., t. 227, 1948, p. 19. | Zbl 0038.26203
[23] . a) Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques (Annales Un. Grenoble, section Math. Phys., t. 21, 1945, pp. 57-74). | Numdam | MR 8,264e | Zbl 0060.27504
. b) Théorie des distributions (Act. Sc. et Ind., n° 1091 et 1122, Paris, Hermann, 1950 et 1951). | MR 12,31d | Zbl 0042.11405
[24] . a) Les potentiels d'énergie finie (Acta. Math., t. 82, 1950, pp. 107-183), thèse, complétée dans (b) : b) . Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel (Ann. Inst. Fourier, t. II, 1950, pp. 83-99). | Numdam | MR 12,98e | Zbl 0034.36201
[25] et . Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique (Acta. Szeged, t. XII, 1950, pp. 81-100). | MR 12,257d | Zbl 0038.26102
[26] a) Le balayage (Communications du Séminaire Math. de l'Université de Lund, tome spécial jubilaire de M. Riesz (1952), pp. 47-61). | MR 15,124a | Zbl 0047.34403
. b) Famille fondamentales, noyaux associés (Annales Inst. Fourier, t. 3, 1951, pp. 73-101). | Numdam | MR 16,698a | Zbl 0047.34404
[27] . 1. Les capacités, fonctions alternées d'ensemble (C. R. Ac. Sc., t. 233, 1951, p. 904). 2. . Capacités. Premières définitions (C. R. Ac. Sc. t. 234, 1952, p. 35). | MR 13,633f | Zbl 0043.31702
. 3. Extension et restriction d'une capacité (C. R. Ac. Sc. t. 234, 1952, p. 383). 4. . Propriétés fonctionnelles des capacités alternées ou monotones (C. R. Ac. Sc., t. 234, 1952, p. 498). | MR 13,633d | Zbl 0046.05702
. 5. Capacitabilité. Théorèmes fondamentaux (C. R. Ac. Sc., t. 234, 1952, p. 784). | MR 13,633e | Zbl 0046.05704
[28] Pour la bibliographie déjà ancienne voir [2], [3 b] et . Fonctions harmoniques, principes de Picard et de Dirichlet (Mémorial Sc. Math., XI, Paris, Gauthier-Villars, 1926). . Le problème de Dirichlet sous sa forme moderne (Mathematica, VII, 1933, pp. 147-166). . a) Le problème généralisé de Dirichlet (mémoire couronné par l'Ac. Royale de Belgique, classe des sciences, t. 16, 1937).
. b) La notion de point irrégulier dans le problème de Dirichlet (Act. Sc. et Ind., n° 660, 1938). | JFM 64.0476.02
[29] . Familles de Perron et problème de Dirichlet (Acta. Szeged., IX, 1939, pp. 133-153). | JFM 65.0418.03 | MR 1,121d | Zbl 0023.23302
[30] et . Espaces et lignes de Green (Annales Institut Fourier, t. 3, 1951, pp. 199-263). Il faut y rectifier la définition des espaces Ɛ (p. 204) en supposant vérifié l'axiome de séparation de Hausdorff. | Numdam | MR 16,34e | Zbl 0046.32701
[31] . Applications of Poincaré's sweeping out process (Proceed. Nat. Ac. of Sciences., 19, 1933, pp. 457-461). | JFM 59.0482.02 | Zbl 0006.34902
[32] . Sur les ensembles effilés (Bull. Sc. Math., t. 68, 1944, pp. 12-36). | MR 7,15e | Zbl 0028.36201
[33] Voir la bibliographie jusqu'en 1938 dans Vasilesco [28 b] et voir : . Les points irréguliers dans la théorie du potentiel et le critère de Wiener (Kungl. Fys. Sällsk. Lund. Förhand., 9, 1939). Ultérieurement voir la théorie de l'effilement [15, 22, 32], et la notion générale équivalente de régularité par Cartan [19 d] généralisant celle De La Vallée Poussin [17]. | Zbl 0023.04501
[34] Voir [32] [19 d] et
. a) Le problème de Dirichlet ramifié (Annales Un. Grenoble, Math., Phys., t. 22, 1946, pp. 167-200). | Numdam | MR 8,581c | Zbl 0061.22902
. b) Étude générale des fonctions harmoniques ou surharmoniques positives au voisinage d'un point-frontière irrégulier (Ann. Un. Grenoble, Math. Phys., t. 22, 1946, pp. 205-249). | Numdam | MR 8,581d | Zbl 0061.22805
. c) Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière (Math. Nachrichten, 4, 1950, pp. 298-307). | MR 13,35b | Zbl 0042.10603
A cette question se rattachent entre autres :
et . Étude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cône (Bull. Soc. Math. de France, t. 19, pp. 89-112). | Numdam | MR 9,352e | Zbl 0033.06401
. Étude au voisinage de la frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espace (Ann. E.N.S., 66, pp. 125-159). | Numdam | Zbl 0033.37301
[35] . Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales E.N.S., 61, 1944, pp. 301-332). | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801
[36] et . Sur le problème de Dirichlet (C.R., 204, 1937, p. 1788). | JFM 63.0454.02 | Zbl 0016.40203
. Sur la résolubilité et la stabilité du problème de Dirichlet [C.R. Ac. Sc., URSS, t. 18, 1938, n° 6 (en français) ; et Isv. Akad. Nauk. C.C.C.P., 8, 1941, pp. 171-231 (en russe)]. | JFM 64.0480.02 | Zbl 0019.06701
. Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes (Bull. Soc. Math., France, t. 73, 1945, p. 55) suivi d'un complément par Deny. | Numdam | MR 7,205a | Zbl 0061.22804
. Systèmes totaux de fonctions harmoniques (Annales Inst. Fourier, t. 1, 1949, pp. 103-113), complété par un article de Brelot dans le même volume. | Numdam
. Approximation des fonctions continues par des fonctions harmoniques (en russe) (Math. Svornik, 25 (67), 1949, pp. 95-106). | Zbl 0041.38506
Antérieurement et pour l'approximation analogue par des fonctions de variable complexe, voir l'ouvrage de Walsh, vol. XX, des Colloq. publ. de l'Am. Math. Soc. | Zbl 0013.05903
[37] Voir une importante bibliographie dans la thèse de Parreau :
. Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann (Ann. Inst. Fourier, t. 3, 1951, pp. 103-197). | Numdam | MR 14,263c | Zbl 0047.32004
Parmi les nombreux travaux sur ce sujet, (Bader, Ohtsuka, Royden...) signalons le nouvel instrument qu'est le procédé alterné de Sario, applicable d'ailleurs dans l'espace :
. A linear operator method on arbitrary Riemann surfaces (Trans. Am. Math. Soc., 72, 1952, p. 281-295) (indiqué déjà dans les C.R., 229, 1949, p. 1293). | MR 13,735c | Zbl 0046.30804
[38] . Multiple valued harmonic functions in space (Un. of Calif. Public., vol. 1, n° 8, 1951, pp. 281-340). | MR 14,45d | Zbl 0043.10302
[39] . The Dirichlet problem for domains with multiple boundary points (Trans. Am. Math. Soc., 38, 1935, pp. 106-144). | JFM 61.0531.01 | MR 1501804 | Zbl 0012.35304
[40] . Minimal positive harmonic functions (Trans. Am. Math. Soc., t. 49, 1941, pp. 137-172). | JFM 67.0343.03 | MR 2,292h | Zbl 0025.33302
Quelque simplification est apportée par Heins, (Ann. of Math., 52, 1950). Voir aussi un complément dans Parreau [37].
[41] . Le principe des singularités positives de Bouligand et la représentation des fonctions harmoniques positives dans un domaine (Revue Scientifique, 15 août 1947, 85e année, fasc. 14, pp. 896-872). | MR 9,433a | Zbl 0029.26601
. Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin (Annales Un. Grenoble, Math. Phys., 23, 1948, pp. 119-138). | Numdam | MR 10,192b | Zbl 0030.25601
[42] . a) Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green (C.R., t. 235, 1952, p. 598). | MR 16,35a | Zbl 0048.07804
. b) Lignes de Green et problème de Dirichlet (C. R., t. 235, 1952, p. 1595). | MR 16,35b | Zbl 0047.34402
Dans le dernier énoncé de cette note des restrictions sur Ω sont nécessaires ; on pourra supposer par exemple la connexion finie.
[43] . On the classification of open Riemann surfaces (Osaka Math. J., 4, 1952, pp. 191-201). | MR 14,864a | Zbl 0048.05906
[44] Voir une bibliographie récente dans :
. Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces, (Pure and applied math. III, Interscience publishers, New-York, 1950). | MR 12,90a | Zbl 0040.34603
[45] . Sur un problème toujours possible comprenant à titre de cas particuliers le problème de Dirichlet et celui de Neumann (J. Math., 6, 1927, pp. 127-163). | JFM 53.0459.02
. Sur un théorème de M. Zaremba concernant les fonctions harmoniques (J. de Math., 12, 1933, pp. 95-108). | JFM 59.0483.03 | Zbl 0006.16601
[46] . Dirichlet problem for domains bounded by spheres (Annals of Math. Studies, n° 25, pp. 24-25, Princeton, 1950). | MR 12,258g | Zbl 0039.32302
[47] . The kernel function and conformal mapping (Math. Surveys V, published by Am. Math. Soc., 1950). | Zbl 0040.19001
[48] Après [7 a] la bibliographie est considérable.
Voir outre [8] des ouvrages comme ceux de Nevanlinna :
. Eindeutige analytische Funktionen (Grundl. der Wiss, t. 46, 1936). | JFM 62.0315.02 | MR 49 #9165 | Zbl 0014.16304
Travaux de Privaloff dans son ouvrage [8] ou ses nombreux articles à l'Ac. des Sc. URSS ou Recueil de Moscou, vers 1935, par ex. :
. Sur certaines questions de la théorie des fonctions sousharmoniques et des fonctions analytiques (en russe) Math. Sbornik., t. 41, 1935, P. 520-550). | JFM 60.1135.01 | Zbl 0011.31402
Parmi d'autres applications caractéristiques, voir ultérieurement [34 a] et d'abord :
. Quelques applications aux fonctions holomorphes de la théorie moderne du potentiel et du problème de Dirichlet (Bull. Ac. Royale de Liège, 1939, pp. 385-391.) Nombreux articles de Monna, Bolder, à l'Ac. des Sc. d'Amsterdam, (1942-1945), en particulier : | JFM 65.0419.02 | Zbl 0021.31903
. Sur quelques inégalités de la théorie des fonctions et leurs généralisations spatiales (vol. 45, 1942, nos 1 et 2). . Sur le théorème de déformation de Koebe (vol. 45, n° 6). Travaux importants et voisins entre eux de Beurling [15] et . Sur les fonctions méromorphes et univalentes dans le cercle-unité (Bull. Sc. Math., 69, 1945, pp. 21-36, rectification, pp. 117-121). | Zbl 0026.40103
[49] Voir par exemple les travaux de Lelong dans [8] et . a) Sur quelques problèmes de la théorie des fonctions de deux variables complexes (Annales EN., 58, pp. 83-177). . b) Propriétés métriques des variétés analytiques complexes définies par une équation (Ann. EN., 67, pp. 393-419). | Numdam | Zbl 0039.08804
[50] et . Sur quelques propriétés de moyenne, caractéristiques des fonctions harmoniques et polyharmoniques (Bull. Soc. Math. de France, t. 72, 1944, pp. 118-140). . Sur certaines familles non fondamentales de fonctions continues (Bull. Soc. Math. t. 72, 1944, pp. 141-145). | Numdam | Zbl 0063.00852
[51] On trouvera dans Brelot [28] quelques références sur les extensions vers 1930 des premiers travaux modernes sur le problème de Dirichlet. Voir une axiomatique récente étendant l'idée des enveloppes de Perron dans . a) Zur Theorie der elliptischen Differentialgleichungen (Math. Ann., 118, 1942, pp. 733-770). b) Zur Theorie der ersten Randwertaufgabe (Math. Nach., 2, 1949, pp. 279-303). | Zbl 0027.40102
[52] Outre les travaux en cours de Choquet voir un point de départ important dans un article de Courant, Friedrichs, Lewy (Math. Ann., 100, 1928, spécial., p. 42), des articles de Kakutani et collaborateurs dans les Proc. Tokyo 21 (1945), les Acta Szeged (t. 12 B, 1950, pp. 75-81) et surtout : , Two dimensional brownian motion and harmonic functions (Proc. Imp. Ac. Tokyo, 20, 1944, pp. 706-714). | Zbl 0063.03107
[53] . Isoperimetric inequalities in mathematical physics (Annals of Math. Studies, n° 27, Princeton, 1951). | MR 13,270d | Zbl 0044.38301