Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel

Deny, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), p. 83-99 / Harvested from Numdam

Résumé

Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu $ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive ${\bf K}$ dont l’inverse $I/{\bf K}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K(x)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu (y)$ au support de $\mu $ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.

On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :

(I) $E_1(\mu )=\int \int K(x-y)d\mu (x)d\mu (y)$

(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).

(II) Si la mesure composée $K*\mu * \check{\mu }$ ($\check{\mu }=$ mesure symétrique de $\mu $) existe et est à densité continue $f(x)$, on pose $E_2(\mu )=SpK*\mu *\check{\mu }$ ($=f(0)$) ; sinon $E_2(\mu )=+\infty $.

(III) Si la transformée de Fourier ${\bf M}={\bf F}(\mu )$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité ${\bf K}={\bf F}(K)$, on pose $E_2(\mu )=\int {\bf K}\vert {\bf M}\vert ^2dx$ ; sinon $E_3(\mu )=+\infty $.

Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2(\mu )< \infty $ entraîne $E_2(\mu )=E_3(\mu )$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt{E_2(\mu )}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1(\mu )=E_2(\mu )$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu $ satisfaisant à $E_3(\mu )< E_2(\mu )=+\infty $ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.

Détail

Publié le : 1950-01-01

MR 13,459d | Zbl 0042.33602 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.22