La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$

Dieudonné, Jean ; Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), p. 61-101 / Harvested from Numdam

Résumé

L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $({\cal F})$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $({\cal L}{\cal F})$ qui s’obtiennent à partir des espaces $({\cal F})$ par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante $(F_n)$ d’espaces $({\cal F})$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual $E^{\prime }$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^{\prime }$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^{\prime }\rangle = x^{\prime }(x)$ pour $x\in E$, $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^{\prime }$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $>0$ assez petit), la topologie forte sur $E^{\prime }$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^{\prime }$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^{\prime }\subset E^{\prime }$) l’ensemble $A^0\subset E^{\prime }$ (resp. $A^{\prime 0}\subset E$) formé des $x^{\prime }\in E^{\prime }$ (resp. $x\in E$) tels que $\vert \langle x,x^{\prime }\rangle \vert \le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^{\prime }\in A^{\prime }$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^{\prime }$) sont les voisinages de 0 dans $E^{\prime }$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

Détail

Publié le : 1949-01-01

MR 12,417d | Zbl 0035.35501 | 23 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.8

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