Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), p. 121-156 / Harvested from Numdam

Résumé

D’après le développement classique d’une fonction harmonique $u$ de l’espace à $\tau $ dimensions au voisinage d’un point $O$ (ce point exclu), on sait que la limitation de croissance en moyenne du type : $r^\lambda {\frak M}^r_{u^+}=o(r)$ ou $o(r)$ $(\lambda >\tau -2)$ entraîne la même limitation vraie pour $u^+$ (et même $\vert u\vert $) par disparition dans le développement des termes de croissance plus rapide. L’auteur avait montré (Act. sc. ind. no 139 (1934)) que ce passage de ${\frak M}_{u^+}$ à $u^+$ s’étend à $u$ sousharmonique admettant une majorante harmonique (au voisinage de $O$, $O$ exclu) ; il fait maintenant à peu près disparaître cette restriction de majoration harmonique et développe une étude analogue pour le voisinage du point à l’infini. Voici l’idée de la théorie pour $\tau =3$. Supposons $r^s{\frak M}^r_{u^+}$ sommable en $r$ voisin de o ($s>o$) et soit $p$ le plus grand entier $< s$. On développe $1/MP$ selon $\sum ^\infty _{n=0}{\frak P}_n (\cos \gamma )\overline{OP}^n/\overline{OM}^{n+1}$, dont on prendra un $\Sigma $ partiel pour former $\nu (M)=\int \big (1/MP-\sum ^p_{n=0}\big )d\mu _P$ ($\mu $ mesure associée à $u$). Grâce à une étude comparée de l’allure de $u$ et $\mu $, on verra que l’intégrale existe, que $\overline{OM}^{1+s}\nu ^+(M)\rightarrow o$ avec $OM$ et que $r^{1+s}{\frak M}^r_{{(u-\nu )}^+}\rightarrow o$. De sorte que $u-\nu $ harmonique satisfait à cette même limitation vraie. On a ainsi une représentation intégrale dont on conclut que si $r^{1+\lambda }{\frak M}^r_{u^+}\rightarrow o$, $\overline{OM}^{1+\lambda +\varepsilon }u_+\rightarrow o$ $(\lambda >o,\, \varepsilon >o)$. On peut perfectionner et supprimer en particulier cet $\varepsilon $ si $\lambda $ est non entier ou si $\lambda =1$. Ce cas de $\lambda =1$ est traité et approfondi autrement, par la méthode, simple en principe, mais délicate, de passage à la limite dans une intersphère, sur la représentation de Riesz avec fonction de Green ; elle est inspirée d’un travail récent de Heins (Annals of Math., 1949) donnant une représentation intégrale de $u$ sousharmonique dans le plan entier, avec des hypothèses que l’on améliore ici. Toute cette étude demande ou amène beaucoup de lemmes dont certains présentent de l’intérêt en eux-mêmes, en particulier des compléments sur le problème de Dirichlet.

Détail

Publié le : 1949-01-01

MR 12,258e | Zbl 0036.06901 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.11