Systèmes totaux de fonctions harmoniques

Deny, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), p. 103-113 / Harvested from Numdam

Résumé

L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien ${\bf R}^m$ $(m\ge 2)$ le point courant $x$ à distance $\vert x\vert $ de l’origine, un compact $E$ et la fonction harmonique fondamentale $h(x)$ valant $-\log \vert x\vert $ $(m=2)$ ou $\vert x\vert ^{2-m}$ $(m>2)$. Si $H_n$ est tout polynôme harmonique homogène de degré $n$, on pose

Φna(x)=Hn(x-a)|x-a|2n+m-2(n≥1),Φ0a(x)=H0h(x-a)(H0=C te )

et $\Phi ^\infty _n(x)=H_n(x)$ $(n\ge 0)$. L’auteur caractérise de diverses manières la variété linéaire ${\cal M}$ des distributions de masse sur $E$ dont le potentiel est nul sur $CE$ ; il montre essentiellement que les fonctions finies continues sur la frontière $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}E}\limits ^{*}}$ de $E$ orthogonales à ${\cal M}$ constituent la variété linéaire fermée engendrée par les $\Phi ^a_np$ où $a_0a_1\ldots a_p\ldots $ sont des points choisis respectivement dans les domaines composant $CE$. Il s’ensuit que les $\Phi ^a_np$ forment un système total dans l’espace des fonctions finies continues sur $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}E}\limits ^{*}}$, si et seulement si $CE$ n’est effilé en aucun point-frontière. Compléments divers.

Détail

Publié le : 1949-01-01

MR 12,258c | 8 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.9