La plupart des systèmes intégrables classiques admettent une complexification
naturelle, où les tores de Liouville deviennent des tores algébriques complexes
(variétés abéliennes). Le fait d'introduire un temps complexe et des coordonnées
complexes nous fait découvrir les structures algébriques et géometriques
sous-jacentes et plusieurs constructions classiques (linéarisation, coordonnées
action-angle, solutions explicites, symétries cachées, ...) deviennent
explicites, et pour des classes d'exemples même systématiques. A partir de la
notion générale d'intégrabilité (au sens de Liouville) sur une variété de
Poisson (réelle ou complexe) et après quelques rappels sur les variétés
abéliennes, les systèmes algébriquement intégrables seront introduits et leurs
propriétés de base seront illustrées sur quelques exemples simples. Pour finir,
le critère de Kowalevski-Painlevé sera expliqué et illustré par deux exemples.