This work is devoted
to the Marsden--Weinstein reduction problem for Kaehlerian
metrics [34]. We focus the attention on Kaehlerian manifolds
$(M,\omega,J)$ whose underlying symplectic structures $(M,\omega)$
are homogeneous under symplectic actions of completely solvable
Lie groups. Homogeneous symplectic manifolds of this type
always admit lagrangian foliations. In this setting the starting
Kaehlerian reduction problem yields new problems involving
the topology of affinely flat manifolds [36]. The KV cohomology
of these affinely flat structures is computed using techniques
of spectral sequences. Questions close to bi-lagrangian structures
are discussed. The KV cohomology of affinely flat manifolds
is used to give new proofs of some known deep theorems. For
instance we revisit the fundamental conjecture of Gindikin,
Piateccii--Sapiro and Vinberg [18], [19]. The global geometry
of compact symplectic solvmanifolds admitting Kaehlerian metrics
is revisited. Various additonal items which are closely related
to the reduction problem and to lagrangian foliations are
discussed.
¶ Ce
travail est consacré à l'analogue Kählérien
du problème de réduction des variétés
symplectiques d'après Marsden-Weinstein [34]. L'accent
est mis sur les variétés Kählériennes
$(M,\omega,J)$ dont les structures symplectiques sous-jacentes
$(M,\omega)$ sont homogènes sous des actions symplectiques
des groupes de Lie complètement résolubles.
Les variétés symplectiques homogènes de
ce type portent toujours des feuilletages lagrangiens. Du
problème initial de réduction Kählérienne
surgisent des nouvelles questions liées à la
topologie des variétés affinement plates [36].
La KV cohomologie de ces structures affinement plates est
calculée par des techniques de suite spectrale. Des
questions en relation avec les structures bi-lagangiennes
sont discutées. Dans ce même contexte la KV
cohomologie est utilisée pour donner des nouvelles
démonstrations de certaines conjectures devenues théorèmes.
C'est le cas de la conjecture fondamentale de Gindikin, Piateccii-Sapiro
et Vinberg [18], [19]. Nous avons aussi revisité la
géométrie globale des soluvariétés
qui admettent des métriques Kählériennes.
D'autres prolongements sont explorés mais non exploités.