Relative Measurement and Its Generalization in Decision Making. Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors. The Analytic Hierarchy/Network Process.

Saaty, Thomas L.

RACSAM, Tome 102 (2008), p. 251-318 / Harvested from Biblioteca Digital de Matemáticas

Abstract

According to the great mathematician Henri Lebesgue, making direct comparisons of objects with regard to a property is a fundamental mathematical process for deriving measurements. Measuring objects by using a known scale first then comparing the measurements works well for properties for which scales of measurement exist. The theme of this paper is that direct comparisons are necessary to establish measurements for intangible properties that have no scales of measurement. In that case the value derived for each element depends on what other elements it is compared with. We show how relative scales can be derived by making pairwise comparisons using numerical judgments from an absolute scale of numbers. Such measurements, when used to represent comparisons can be related and combined to define a cardinal scale of absolute numbers that is stronger than a ratio scale. They are necessary to use when intangible factors need to be added and multiplied among themselves and with tangible factors. To derive and synthesize relative scales systematically, the factors are arranged in a hierarchic or a network structure and measured according to the criteria represented within these structures. The process of making comparisons to derive scales of measurement is illustrated in two types of practical real life decisions, the Iran nuclear show-down with the West in this decade and building a Disney park in Hong Kong in 2005. It is then generalized to the case of making a continuum of comparisons by using Fredholm’s equation of the second kind whose solution gives rise to a functional equation. The Fourier transform of the solution of this equation in the complex domain is a sum of Dirac distributions demonstrating that proportionate response to stimuli is a process of firing and synthesis of firings as neurons in the brain do. The Fourier transform of the solution of the equation in the real domain leads to nearly inverse square responses to natural influences. Various generalizations and critiques of the approach are included.

Résumé

En primer lugar se argumenta, tal como hizo Henri Lebesgue, que el establecer comparaciones directas entre objetos en relación con alguna propiedad es un proceso matemático fundamental para deducir medidas. Podemos comprobar que esta idea funciona bien para aquellas propiedades para las que se pueden construir escalas de medida. La idea fundamental de este artículo es demostrar que también se puede realizar un proceso de comparación para establecer medidas de propiedades intangibles. Se demuestra que se pueden deducir escalas relativas haciendo comparaciones por parejas, es decir dos a dos, utilizando estimaciones numéricas a partir de otra escala numérica como son los autovectores principales. Estas medidas son del todo necesarias cuando hay que determinar la tasa de intercambio entre los factores intangibles y tangibles. Para deducir y sintetizar de un modo sistemático estas escalas relativas es necesario organizar los factores en una estructura jerárquica o de red. Este proceso se ilustra con dos casos reales, la carrera armamentística nuclear de Irán que le ha enfrentado con el occidente durante la última década y la construcción de un parque Disney en Hong Kong en 2005. A continuación se generaliza el proceso al caso de considerar un continuo de comparaciones usando la ecuación de Fredholm de segunda especie cuya solución da lugar a una ecuación funcional. La transformada de Fourier de la solución de esta ecuación en el plano complejo es una suma de distribuciones de Dirac, lo que demuestra que la respuesta proporcionada por los estímulos es un proceso de activación y síntesis de activaciones del mismo tipo como el que las neuronas lo hacen en el cerebro. La transformada de Fourier de la solución de la ecuación en la recta real conduce a respuestas que aproximadamente son como las recíprocas de los cuadrados a las influencias naturales. Por último, se incluyen varias generalizaciones y críticas al enfoque propuesto.

Détail

Publié le : 2008-01-01

Zbl 1177.62009

DMLE-ID : 4523