In this paper we discuss the problem of when the projective tensor product of two Banach spaces has the Radon-Nikodym property. We give a detailed exposition of the famous examples of Jean Bourgain and Gilles Pisier showing that there are Banach spaces X and Y such that each has the Radon-Nikodym property but for which their projective tensor product does not; this result depends on the classical theory of absolutely summing, integral and nuclear operators, as well as the famous Grothendieck inequality for its punch-line. In the last section of this paper we discuss many results of a positive character, due to Qingying Bu and various of his coauthors; in particular, we mention results of Bu, Diestel, Dowling and Oja to the effect that if one of the spaces has a boundedly complete FDD then the projective tensor product of two spaces with the RNP has it and a modification of a result of Bu and Pei-Kee Lin to the effect that if X is a Banach lattice with RNP and Y is any Banach space with RNP then their projective product has RNP.
En este trabajo discutimos el problema de cuándo el producto tensorial proyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Radon-Nikodym. Damos una exposición detallada de los famosos ejemplos de Bourgain y Pisier de dos espacios de Banach X e Y con la propiedad de Radon-Nikodym tales que su producto tensorial proyectivo no la tiene; este resultado depende de la teoría clásica de operadores absolutamente sumantes, integrales y nucleares, así como de la famosa desigualdad de Grothendieck como herramienta básica. En la última sección de este trabajo discutimos muchos resultados positivos, debidos a Qingying Bu y a varios de sus coautores; en particular, mencionamos resultados de Bu, Diestel, Dowling y Oja en la dirección de que si uno de los espacios tiene una FDD acotadamente completa, entonces el producto tensorial proyectivo de dos espacios con la RNP la tiene, y una modificación de un resultado de Bu y Pei-Kee Lin en el sentido de que si X es un retículo de Banach con la RNP e Y es cualquier espacio de Banach con la RNP entonces su producto tensorial proyectivo tiene la RNP.
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title = {The projective tensor product (II): the Radon-Nikodym property.},
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Diestel, Joe; Fourie, Jan; Swart, Johan. The projective tensor product (II): the Radon-Nikodym property.. RACSAM, Tome 100 (2006) pp. 75-100. http://gdmltest.u-ga.fr/item/urn:eudml:doc:41644/