Perturbation results for the local Phragmén-Lindelöf condition and stable homogeneous polynomials.

Braun, Rüdiger W. ; Meise, Reinhold ; Taylor, B. Alan

RACSAM, Tome 97 (2003), p. 189-208 / Harvested from Biblioteca Digital de Matemáticas

Abstract

The local Phragmén-Lindelöf condition for analytic varieties in complex n-space was introduced by Hörmander and plays an important role in various areas of analysis. Recently, new necessary geometric properties for a variety satisfying this condition were derived by the present authors. These results are now applied to investigate the homogeneous polynomials P with real coefficients that are stable in the following sense: Whenever f is a holomorphic function that is defined in some neighborhood of the origin, is real over real points, and has P as its localization at zero then the zero variety V(f) of f satisfies the local Phragmén-Lindelöf condition at the origin. It is shown that P can only be stable if V(P) satisfies the local Phragmén-Lindelöf condition at the origin and if, at each real point x in V(P) of modulus 1, the localization of P at x is either linear or an indefinite quadratic form. Further, for polynomials P in three variables it is shown that these necessary conditions are also sufficient for the stability of P and therefore characterize the table polynomials.

Résumé

La condición local de Phragmén-Lindelöf para variedades analíticas complejas n-dimensionales fue introducida por Hormander y juega un papel importante en varias áreas del análisis. Recientemente los presentes autores han derivado nuevas propiedades geométricas que son necesarias para que la variedad satisfaga esta condición. Estos resultados se aplican ahora a investigar los polinomios homogéneos P con coeficientes reales que son estables en el siguiente sentido: Cuando f es una función holomorfa que está definida en un entorno del origen, es real en los puntos reales, y tiene a P como su localización en cero, entonces la cero-variedad V(f) de f satisface la condición local de Phragmén-Lindelöf en el origen. Se prueba que P puede ser estable sólo si V(P) satisface la condición local de Phragmén-Lindelöf en el origen y si, en cada punto real x en V(P) de módulo 1, la localización de P en x es o bien lineal o bien una forma cuadrática indefinida. Además, para polinomios P de tres variables se muestra que estas condiciones necesarias son también suficientes para la estabilidad de P y, por tanto, caracterizan los polinomios estables.

Détail

Publié le : 2003-01-01

MR MR2068173

DMLE-ID : 3536