A duality method for non-convex problems in Calculus of Variations

PHAN, Tran Duc Minh

HAL, tel-02001924 / Harvested from HAL

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions un principe général de convexification permettant de traiter certains problèmes variationnels non convexes sur R^d. Grâce à ce principe nous pouvons mettre en œuvre les puissantes techniques de dualité et ramener de tels problèmes à des formulations de type primal-dual dans R^{d+1}, rendant ainsi efficace la recherche numérique de minima globaux. Une théorie de la dualité et des champs de calibration est reformulée dans le cas de fonctionnelles à croissance linéaire. Sous certaines hypothèses, cela nous permet de généraliser un principe d’exclusion découvert par Visintin dans les années 1990 et de réduire le problème initial à la minimisation d’une fonctionnelle convexe sur R^d. Ce résultat s’applique notamment à une classe de problèmes à frontière libre ou multi-phasique donnant lieu à des tests numériques très convaincants au vu de la qualité des interfaces obtenues. Ensuite nous appliquons la théorie des calibrations à un problème classique de surfaces minimales avec frontière libre et établissons de nouveaux résultats de comparaison avec sa variante où la fonctionnelle des surfaces minimales est remplacée par la variation totale. Nous généralisons la notion de calibrabilité introduite par Caselles-Chambolle et Al. et construisons explicitement une solution duale pour le problème associé à la seconde fonctionnelle en utilisant un potentiel localement Lipschitzien lié à la distance au cut-locus. La dernière partie de la thèse est consacrée aux algorithmes d’optimisation de type primal-dual pour la recherche de points selle, en introduisant de nouvelles variantes plus efficaces en précision et temps calcul. Nous avons en particulier introduit une variante semi-implicite de la méthode d’Arrow-Hurwicz qui permet de réduire le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une qualité satisfaisante des interfaces. Enfin nous avons traité la non différentiabilité structurelle des Lagrangiens utilisés à l’aide d’une méthode géométrique de projection sur l’épigraphe offrant ainsi une alternative aux méthodes classiques de régularisation.

Détail

Publié le : 2018-06-28
Classification:  Non-convex optimization,  Min-Max principle,  Free boundary,  Free discontinuities,  Primal-dual algorithm,  Epigraph projection,  Optimisation non convexe,  Principe de min-max,  Frontière libre,  Discontinuités libres,  Gamma-convergence,  Algorithme primal-dual,  Projection épigraphique,  [MATH]Mathematics [math],  [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]