Adaptive estimation of the intensity of some point processes by model selection.

Reynaud-Bouret, Patricia

HAL, tel-00081412 / Harvested from HAL

Résumé

L'objet de cette thèse est d'adapter des techniques
de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de
processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les
estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans
une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous
nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson
inhomogènes et les processus de comptage à intensité
multiplicative d'Aalen.
Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type
oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque
du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une
famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de
type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément
la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en
probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur
moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La
première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable
en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de
processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable
pour des processus de comptage beaucoup plus généraux.
Cette dernière inégalité met en oeuvre des techniques de
martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de
concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi que pour des
intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée.
Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les
risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés
atteignent ces vitesses.

Détail

Publié le : 2002-06-27
Classification:  Model selection,  penalized projection estimators,  adaptive estimation,  point processes,  inhomogeneous Poisson process,  Aalen multiplicative intensity counting process,  degenerate U-statistics of order 2,  exponential inequalities,  concentration of measure,  Sélection de modèle,  estimateurs par projection pénalisés,  estimation adaptative,  processus ponctuels,  de Poisson inhomogènes,  de comptage à intensité multiplicative d'Aalen,  U-statistiques dégénérées d'ordre 2,  inégalités exponentielles,  concentration,  [MATH]Mathematics [math]