Max-Plus decomposition of supermartingales and convex order. Application to American options and Portfolio insurance.

Meziou, Asma

HAL, pastel-00002177 / Harvested from HAL

Résumé

Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.

Détail

Publié le : 2006-11-29
Classification:  Supermartingale decompositions,  Max-Plus algebra,  Running supremum process,  American options,  Optimal stopping,  Lévy processes,  Convex order,  Martingale optimization with constraints,  Portfolio insurance,  Azéma-Yor martingales,  Drawdown constraints,  Assurance de portefeuille,  Processus de Lévy,  Ordre convexe,  Optimisation de martingales sous contraintes,  Options Américaines,  Arrêt optimal,  Running supremum,  Martingales d'Azéma-Yor,  Drawdown,  Algèbre Max-Plus,  Décomposition de surmartingales,  [MATH]Mathematics [math]