Théorie des opérations linéaires

Stefan Banach

GDML_Books, (1932), p.

Résumé

PRÉFACE............................................................................................... III ERRATA................................................................................................ VIII INTRODUCTION. A. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes § 1. Quelques théorèmes de la théorie de l’intégrale de Lebesgue...................................... 1 § 2. Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable............................... 2 § 3. La convergence asymptotique...................................................................... 3 § 4. La convergence en moyenne........................................................................ 4 § 5. L’intégrale de Stieltjes......................................................................... 4 § 6. Le théorème de Lebesgue.......................................................................... 7 B. Ensembles et opération mesurables (B) dans les espaces métriques § 7. Espaces métriques................................................................................ 8 § 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12 § 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15 CHAPITRE I. Groupes § 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20 § 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21 § 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23 § 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24 CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26 § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27 § 3. Applications: généralisation des notions d’intégrale, de mesure et de limite..................... 29 CHAPITRE III. Espaces du type (F) § 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35 § 2. Opérations homogènes............................................................................. 36 § 3. Séries d’éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37 § 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43 § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44 § 6. Systèmes d’équations linéaires a une infinité d’inconnues........................................ 47 § 7. Applications de l’espace (s)..................................................................... 50 CHAPITRE IV. Espaces normes § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53 § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54 § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d’éléments............................................ 57 § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)), (c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59 § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72 § 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons linéaires de fonctions................................................................................ 73 § 7. Le problème des moments.......................................................................... 74 § 8. Conditions pour l’existence des solutions de certains systèmes d’équations a une infinité d’inconnues............................................................................ 76 CHAPITRE V. Espaces du type (B) § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78 § 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81 § 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83 § 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84 § 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86 § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88 § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90 CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées § 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96 § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97 § 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99 § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101 CHAPITRE VII. Sites biorthogonales § 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106 § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108 § 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110 § 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112 CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) § 1. Préliminaires.................................................................................... 115 § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116 § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118 § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122 § 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123 § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126 § 7. Compacticité faible d’ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130 § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires............................................................................................. 131 CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d’éléments § 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d’éléments.......................... 133 § 2. Convergence faible des suites d’éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134 § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139 § 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140 § 5. Un théorème sur la convergence faible d’éléments................................................. 143 CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145 § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151 § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157 § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159 § 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161 § 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162 § 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163 CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie § 1. Isométrie........................................................................................ 165 § 2. Les espaces $(L^2)$ et $(l^2)$................................................................... 165 § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166 § 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168 § 5. Rotations........................................................................................ 173 § 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180 § 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181 § 8. Espace (C) comme l’espace universel.............................................................. 185 § 9. Espaces conjugués................................................................................ 188 CHAPITRE XII. Dimension linéaire. § 1. Définitions....................................................................................... 193 § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194 § 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197 ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B). § 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208 § 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217 REMARQUES.............................................................................................. 226

Détail

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