Euler in his paper De la controverse entre Mrs. Leibniz and Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs and imaginairesg (Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 5 (1749), 139-171, in: Opera, (1) 17, 195-232; cf. C. G. Fraser [1]) considered the rule d(log x) = dx/x. He rejected an earlier suggestion of Leibniz that this rule is only valid for positive real values of x with the following observation:"(...) Car, comme ce calcul roule sur les quantités variables, c. à d. sur des quantités considérées en général, s'il n'était pas vrai généralement qu'il fût d· lx = dx/x, quelque quantité qu'on donne à x, soit positive ou négative, ou même imaginaire, on ne pourrait jamais se servir de cette règle, la vérité du calcul différentiel étant fondée sur la généralité des règles qu'il renferme."
CONTENTSIntroduction............................................................................................................................................50. Preliminaries.......................................................................................................................................61. Basic equation. Logarithms and antilogarithms..................................................................................82. Logarithms and antilogarithms of higher order.................................................................................193. Reduction theorems..........................................................................................................................244. Multiplicative case.............................................................................................................................365. Leibniz case.......................................................................................................................................416. Exponential, power and polylogarithmic functions.............................................................................517. Complex case....................................................................................................................................578. Smooth logarithms and antilogarithms..............................................................................................649. Logarithmic and antilogarithmic mappings induced by left invertible and invertible operators...........7010. Other generalizations.......................................................................................................................82 References...........................................................................................................86
1991 Mathematics Subject Classification: 47C05, 47H17, 47S10, 33B10.
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Danuta Przeworska-Rolewicz. Logarithmic and antilogarithmic mappings. GDML_Books (1994), http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.zamlynska-ba01965e-01ed-4379-901a-51724be64112/