Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych

Stefan Banach

GDML_Books, (1951), p.

Résumé

SPIS RZECZY PRZEDMOWA...................... III WSTĘP. Liczby rzeczywiste...... 1 1. Aksjomaty i definicje. 2. Zbiory liniowe. 3. Liczby nieskończone. ROZDZIAŁ I. Teoria zbiorów § 1. Algebra zbiorów....... 4 1. Działania na zbiorach. 2. Działania nieskończone. 3. Znakowanie logiczne. 4. Produkt zbiorów. Funkcje zdaniowe wielu zmiennych. 5. Interpretacja geometryczna kwantora. § 2. Odwzorowania zbiorów, pojęcie ciągu, produkt nieskończony zbiorów...... 14 1. Odwzorowanie (funkcja). 2. Ciąg. 3. Produkt nieskończony. § 3. Moce zbiorów.............. 15 1. Równość mocy. 2. Moc produktu. 3. O porównywaniu mocy zbiorów. 4. Zbiory przeliczalne. 5. Zbiory mocy c (continuum). 6. Zbiory mocy f. § 4. Zbiory uporządkowane........... 35 1. Porządek. 2. Zbiory podobne. 3. Zbiory typu η i λ. 4. Przekrój. § 5. Zbiory dobrze uporządkowane.................... 37 1. Pojęcie dobrego uporządkowania. 2. Odcinki zbioru dobrze uporządkowanego. 3. Twierdzenia o podobieństwie. 4. Twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. 5. Indukcja pozaskończona. ROZDZIAŁ II. Granica ciągu § 1. Przedziały......................... 44 1. Przedziały skończone. 2. Przedziały nieskończone. 3. Część wspólna ciągu przedziałów. § 2. Kresy zbioru.................................. 46 1. Zbiory ograniczone. 2. Kres górny. 3. Kres dolny. § 3. Granice............................ 47 1. Granica ciągu. 2. Warunki zbieżności. 3. Działania na ciągach. 4. Szeregi. 5. Punkt graniczny ciągu. 6. Granica górna i dolna ciągu. ROZDZIAŁ III. Zbiory punktowe § 1. Zbiory liniowe....................... 57 1. Zbiory zamknięte. 2. Zbiory brzegowe, otwarte, doskonałe. 3. Gęstość. 4. Spójność. 5. Kategoria zbioru. 6. Pokrycie zbioru. 7. Odległość, odstęp, średnica. § 2. Zbiory w przestrzeni m-wymiarowej..................... 73 1. Definicje podstawowe. 2. Przedziały. 3. Granice. 4. Otoczenie. 5. Odstęp, średnica. 6. Spójność. 7. Zbiory wypukłe. 8. Pokrycie zbioru. 9. Pewne własności ciągów zbiorów zamkniętych. 10. Struktura zbiorów zamkniętych. 11. Zbiory $F_σ$ i $G_δ$. ROZDZIAŁ IV. Funkcje w $ℰ^m$ § 1. Funkcje ciągłe............ 104 1. Granica funkcji. 2. Ciągłość. 3. Własności funkcji ciągłych. 4. Ciągłość jednostajna. 5. Funkcje o wartościach z $ℰ^n$. Moduł ciągłości. 6. Warunek Holdera. 7. Przedłużanie funkcyj ciągłych. § 2. Ciągi funkcyj. Zbiory zwarte funkcyj..................... 122 1. Granica ciągu funkcyj. 2. Zbieżność jednostajna. 3. Zbiory zwarte funkcyj. § 3. Przybliżanie funkcyj ciągłych wielomianami....................... 137 Wielomiany Bernsteina 1. Lemat o linii łamanej. 2. Przybliżanie funkcji |x|. 3. Przybliżanie dowolnej funkcji ciągłej. 4. Wielomiany Bernsteina. 5. Funkcje 1-ej klasy Baire’a. 6. Klasyfikacja Baire’a. § 4. Krzywe w przestrzeniach $ℰ^n$........................ 150 1. Definicje. 2. Krzywa Peany. 3. Krzywa ciągła wypełniająca przedział w $ℰ^n$. 4. Charakterystyka krzywych ciągłych. ROZDZIAŁ V. Całka Riemanna § 1. Całka pojedyncza....................... 162 1. Podział przedziału. 2. Całka Riemanna. 3. Całka sumy funkcyj. 4. Sumy dolna i górna. 5. Całki górna i dolna. 6. Warunki całkowalności funkcji według Riemanna. 7. Zbiory miary Lebesgue’a 0. 8. Warunki całkowalności funkcji według Lebesgue’a. 9. Własności funkcyj całkowalnych ℜ. 10. Całka Riemanna a funkcja pierwotna. § 2. Całki wielokrotne............................ 179 1. Podział przedziału. 2. Miara przedziału. 3. Określenie całki wielokrotnej. 4. Sumy dolne i górne. 5. Całki dolne i górne. 6. Warunki całkowalności ℜ. 7. Zbiory miary Lebesgue’a 0. 8. Warunki Lebesgue’a całkowalności 9. Własności całki wielokrotnej. 10. Całka wielokrotna jako całka iterowana. § 3. Miara Jordana. Całka ℜ na zbiorze................... 195 1. Miara zewnętrzna ℑ. 2. Miara wewnętrzna ℑ. 3. Własności miary Jordana. 4. Zbiory mierzalne ℑ. 5. Przesunięcie równoległe. 6. Całka ℜ funkcji w zbiorze. 7. Miara Jordana jako całka. 8. Warunki całkowalności ℜ funkcji w zbiorze. 9. Całka Riemanna jako miara Jordana. 10. Całka w zbiorze jako całka iterowana. 11. Miara (objętość) kuli w $ℰ^n$. SKOROWIDZ NAZW............................... 218 SKOROWIDZ NAZWISK............................ 222 ERRATA....................................... 222

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219346