Rachunek nieskończony

Wacław Sierpiński

GDML_Books, (1947), p.

Résumé

CZĘŚĆ TRZECIA: Funkcje elementarne ROZDZIAŁ XVI. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej. Funkcje trygonometryczne oraz ich odwrócenie § 133. Rozwinięcie funkcji $e^z$ na szereg potęgowy................ 1 § 134. Obliczanie liczby e; jej niewymierność................ 3 § 136. Funkcja $e^z$ dla zespolonych z................ 6 § 136. Funkcje cos z oraz sin z i ich własności................ 8 § 137. Liczba π. Okresowość funkcyj trygonometrycznych................ 11 § 138. Bieg funkcyj cos x i sin x dla rzeczywistych x................ 16 § 139. Wzór Vieta na liczbę π................. 17 § 140. Odwrócenie funkcyj trygonometrycznych................ 21 § 141. Forma trygonometryczna liczb zespolonych................ 27 § 142. Własnoaści charakterystyczne funkcyj trygonometrycznych................ 31 § 143. Wzory na pierwiastki naturalnego stopnia z liczb zespolonych................ 35 ROZDZIAŁ XVII. Logarytmy liczb zespolonych. Potęga ogólna. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej § 144. Logarytmy liczb zespolonych................ 40 § 146. Logarytm główny i jego własności................ 41 § 146. Potęga o wykładniku zespolonym................ 45 § 147. Potęga ogólna................ 48 § 148. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej................ 51 § 149. Funkcja tg(z) oraz jej odwrócenie................ 57 § 150. Związek między funkcją arctg(z) a funkcją lg z................ 63 ROZDZIAŁ XVIII. Rozwinięcia funkcyj trygonometrycznych oraz hyperbolicznych na iloczyny nieskończone § 151. Wywód pewnej tożsamości dla sin π z................ 68 § 152. Rozwinięcie funkcji sin π z na iloczyn nieskończony. Wzór Wallisa na liczbę π................ 71 § 153. Rozwinięcie funkcji cos π z na iloczyn nieskończony................ 76 § 154. Wzory Eulera na liczbę $π^2$................ 78 § 155. Wzór Stirlinga................ 80 ROZDZIAŁ XIX. Rozwijanie funkcyj trygonometrycznych na ułamki proste § 156. Rozwinięcie funkcji ctg π z na ułamki proste................ 84 § 157. Rozwinięcie funkcji ctg π z na szereg potęgowy. Liczby Bernoulli’ego................ 88 § 158. Rozwinięcia funkcji tg z na szereg potęgowy oraz na ułamki proste................ 94 § 159. Rozwinięcie funkcyj sec z oraz cosec z na szeregi potęgowe oraz na ułamki proste................ 95 § 160. Wielomiany Bernoulli’ego; wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych................ 100 ROZDZIAŁ XX. Funkcja Γ Eulera oraz jej ważniejsze własności § 161. Definicja funkcji Γ(z) jako granicy pewnego iloczynu................ 104 § 162. Własność iloczynu Γ(z)Γ(1-z); wnioski................ 108 § 163. Twierdzenie Gaussa o mnożeniu funkcji Γ................ 110 CZĘŚĆ CZWARTA: Rachunek różniczkowy ROZDZIAŁ XXI. Pochodna oraz jej zasadnicze własności § 164. Definicja pochodnej. Warunek konieczny i wystarczający na to, iżby funkcja, ciągła w danym przedziale, posiadała dla danej wartości tego przedziału daną pochodną................ 113 § 165. Pochodne nieskończone. Pochodne funkcyj elementarnych. Ciągłość funkcji, posiadającej pochodną skończoną................ 116 § 166. Granice funkcji. Twierdzenie o granicach sumy, różnicy, iloczonu i ilorazu funkcyj................ 124 § 167. Pochodna sumy i różnicy................ 128 § 168. Pochodna iloczynu................ 131 § 169. Pochodna ilorazu................ 132 § 170. Pochodna funkcji................ 133 § 171. Pochodna funkcji odwrotnej................ 136 § 172. Przykłady i zastosowania................ 139 § 173. Funkcja ciągła, nie posiadająca pochodnej................ 141 § 174. Pochodne rzędów wyższych. Wzór Leibniza na n-tą pochodną iloczynu................ 147 ROZDZIAŁ XXII. Twierdzenia Rolle’a i Lagrange’a oraz ich zastosowania § 175. Dowód twierdzenia Rolle’a................ 152 § 176. Twierdzenie Lagrange’a oraz jego ważniejsze wnioski................ 154 § 177. Twierdzenie Cauchy’ego................ 157 § 178. Twierdzenie Darboux................ 158 § 179. Rozwijanie na szereg potęgowy funkcyj, dla których rozwinięcia pochodnych są znane................ 162 § 180. Szereg potęgowy na lg(1+ x). Obliczanie logarytmów................ 163 § 181. Szereg potęgowy na arctg x. Obliczanie liczby π................ 165 § 182. Szeregi $Σ n^(-1)x^(n)cos(nϑ)$ oraz $Σ n^(-1)x^(n)sin(nϑ)$................ 168 § 183. Twierdzenie o rozwijalności funkcji ciągłej okresowej na jednostajnie zbieżny szereg skończonych wyrażeń trygonometrycznych................ 175 § 184. Pochodna szeregu funkcyj, dla którego szereg pochodnych jest zbieżny jednostajnie................ 177 § 184. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby pochodną szeregu był w danym punkcie szereg pochodnych................ 182 § 185. Przejście do funkcji pierwotnych dla szeregu jednostajnie zbieżnego. Istnienie funkcyj pierwotnych dla funkcyj ciągłych................ 184 § 186. Rozwinięcie wielomianów Bernoulli’ego przedziale (0, 1) na szeregi trygonometryczne................ 187 § 187. Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina................ 191 § 188. Zastosowanie wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina. Szeregi asymptotyczne................ 193 ROZDZIAŁ XXIII. Wzór Taylora i Maclaurina § 189. Wywód wzorów Taylora i Maclaurina. Forma reszty Schlömilcha, Lagrange’a i Cauchy’ego................ 199 § 190. Warunek konieczny i wystarczający dla rozwijalności funkcji na szereg Taylora w pewnym przedziale................ 205 § 191. Szereg dwumienny................ 207 § 192. Rozwinięcie funkcji arcsin(x) na szereg potęgowy................ 211 § 193. Wzór na lg(1+x) oraz jego zastosowanie do dowodu pewnego twierdzenia z teorji iloczynów nieskończonych................ 212 § 194. Pewne wnioski ze wzoru Taylora. druga pochodna uogólniona. Twierdzenie Schwarza................ 214 § 195. Maxima i minima funkcji; ich własności oraz wyznaczanie................ 217 ROZDZIAŁ XXIV. Ważniejsze wzory i twierdzenia z teorji przyrostów skończonych. Wzory interpolacyjne Lagrange’a i Newtona § 196. Wzór ogólny na n-tą różnicę funkcji................ 223 § 197. Uogólnienie twierdzenia o przyrostach skończonych................ 227 § 198. Związek miedzy n-ta pochodną funkcji, a granicą wyrażenia $Δ^n f(x)/Δx^n$ dla Δx=0................ 229 § 199. Wielomian Lagrange’a................. 233 § 200. Uogólnienie twierdzenia Rolle’a................ 234 § 201. Wzór interpolacyjny Lagrange’a z resztą w formie Cauchy’ego................ 235 § 202. Wzór interpolacyjny Newtona................ 237 § 203. Wywód wzoru Taylora ze wzoru interpolacyjnego Newtona................ 238 ROZDZIAŁ XXV. Funkcje dwuch zmiennych rzeczywistych § 204. Funkcja dwuch zmiennych rzeczywistych................ 240 § 205. Pochodne cząstkowe; związek między ich istnieniem a ciągłością funkcji................ 242 § 206. Funkcje złożone; ich ciągłość i pochodna................ 244 § 207. Pochodna funkcji uwikłanej................ 248 § 208. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Zmiana porządku różniczkowania................ 252 § 209. Pochodne cząstkowe rzędów wyższych................ 258 § 210. Wzór Taylora dla funkcji dwuch zmiennych................ 260

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219340