Działania nieskończone

Wacław Sierpiński

GDML_Books, (1949), p.

Résumé

CZĘŚĆ PIERWSZA: Liczby rzeczywiste i zespolone.ROZDZIAŁ I. Przekroje i liczby niewymierne§ 1. Przekroje zbioru liczb wymiernych....................... 1§ 2. Luki. Liczby niewymierne; liczby rzeczywiste....................... 2§ 3. Pojęcie liczby mniejszej i większej....................... 3§ 4. Przechodniość znaku <....................... 4§ 5. Gęstość zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych....................... 7§ 6. Zamykanie liczby rzeczywistej między dwiema dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi....................... 8§ 7. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych....................... 9§ 8. Przekroje niewłaściwe....................... 12ROZDZIAŁ II. Ciągi nieskończone i ich granice§ 9. Ciągi nieskończone: przykłady....................... 13§ 10. Granica górna i dolna ciągu. Granica ciągu. Ciągi posiadające granicę i ciągi zbieżne....................... 15§ 11. Ciągi, których granice są nieskończone. Nieskończoność potencjalna i aktualna. Nieskończenie małe....................... 16§ 12. Wnioski z definicji granicy górnej i dolnej ciągu....................... 17§ 13. Ciągi monotoniczne....................... 22§ 14. Warunek konieczny i wystarczający na to żeby dana liczba rzeczywista była granicą danego ciągu nieskończonego.Wnioski....................... 23§ 15. Liczby rzeczywiste, jako granice ciągów liczb wymiernych. Rozwinięcia liczb rzeczywistych na ułamkinieskończone przy dowolnej zasadzie....................... 26§ 16. Nieprzeliczalność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych....................... 26§ 17. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 35ROZDZIAŁ III. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych§ 18. Suma liczb rzeczywistych....................... 37§ 19. Własności sumy: przemienność; łączność; moduł dodawania....................... 40§ 20. Dodawanie nierówności....................... 42§ 21. Odejmowanie; liczby różniące się znakiem....................... 44§ 22. Sprowadzenie odejmowania do dodawania w myśl wzoru a - b = a + (-b); wnioski....................... 46§ 23. Liczby dodatnie i ujemne. Wartość bezwzględna i jej własność....................... 49§ 24. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby dana skończona liczba rzeczywista była granicą danego ciągunieskończonego....................... 52§ 25. Twierdzenia o granicy sumy i różnicy....................... 54§ 26. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 55§ 27. Ciągi ograniczone. Ograniczoność ciągu zbieżnego....................... 57§ 28. Granica górna i dolna jako granice ciągów wyjętych....................... 58§ 29. Iloczyn liczb rzeczywistych....................... 61§ 30. Własności iloczynu; przemienność; łączność; rozdzielność; moduł mnożenia; mnożenie przez 0....................... 64§ 31. Mnożenie nierówności....................... 67§ 32. Twierdzenie o granicy iloczynu....................... 71§ 33. Iloraz liczb rzeczywistych; ułamki i ich własności....................... 72§ 34. Własności odwrotności....................... 75§ 35. Twierdzenie o granicy ilorazu ....................... 78ROZDZIAŁ IV. Potęgowanie liczb rzeczywistych§ 36. Potęga naturalna....................... 81§ 37. Ciąg potęgowy....................... 82§ 38. Pierwiastki arytmetyczne....................... 85§ 39. Obliczanie pierwiastków arytmetycznych....................... 88§ 40. Nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej....................... 93§ 40a. Twierdzenie Hardy-Landau’a....................... 93§ 41. Pojęcie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; jej ciągłość....................... 101§ 42. Funkcje ciągłe, spełniające warunek f(1)=a oraz f(x+y)=f(x)f(y)....................... 104§ 43. Własności potęgi wymiernej....................... 108§ 44. Potęga o wykładniku rzeczywistym....................... 117§ 45. Własności potęgi o wykładniku rzeczywistym....................... 120§ 46. Nierówności dla $(1+d)^x$....................... 125§ 47. Funkcja $e^x$....................... 133ROZDZIAŁ V. Logarytmy§ 48. Dowód istnienia logarytmów liczb dodatnich....................... 140§ 49. Ogólne własności logarytmów. Zmiana zasady logarytmów....................... 142§ 50, Logarytmy naturalne; ciągłość funkcji lg x; wnioski....................... 146§ 51. Wzór asymptotyczny na sumę 1/1 + 1/2 + ... + 1/n; stała Eulera; wzór na lg2....................... 150§ 52. Interpolacja logarytmów....................... 153ROZDZIAŁ VI. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej rzeczywistej§ 53. Kres górny i dolny zbioru i jego własności....................... 156§ 54. Ciągłość funkcji w danym przedziale; definicje Cauchy’ego i Heine’go; sprawa ich równoważności....................... 158§ 55. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła przechodzi od jednej wartości do drugiej, przechodząc przez wszystkie wartości pośrednie.Przykład funkcji wszędzie nieciągłej o powyższej własności....................... 164§ 56. Kresy funkcji w danym zbiorze. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła w danym przedziale dosięga swychkresów....................... 168§ 57. Suma, iloczyn, różnica i iloraz funkcji ciągłych w danym przedziale....................... 172§ 58. Dowód twierdzenia o istnieniu pierwiastków rzeczywistych równań algebraicznych stopnianieparzystego....................... 173ROZDZIAŁ VII. Teoria liczb zespolonych§ 59. Liczby zespolone, jako najprostsze rozszerzenie pojęcia liczb rzeczywistych....................... 175§ 60. Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych....................... 178§ 61. Moduł liczby zespolonej i jego własności....................... 183§ 62. Dwumian Newtona....................... 187§ 63. Pierwiastki drugiego stopnia z liczb zespolonych....................... 189§ 64. Dowód istnienia pierwiastków stopnia m-go z liczb zespolonych....................... 192§ 65. Dowód zasadniczego twierdzenia algebry....................... 197§ 66. Rozkład wielomianu na czynniki linowe. Liczba pierwiastków m-go stopnia z każdej różnej od zera liczby zespolonej....................... 206 ⎧§ 67. Dowód twierdzenia, że pierwiastki równania algebraicznego są funkcjami ciągłymijego współczynników....................... 211§ 68. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste....................... 218§ 69. Ciągi nieskończone o wyrazach zespolonych....................... 221CZĘŚĆ DRUGA: Działania nieskończoneROZDZIAŁ VIII. Szeregi nieskończone o składnikach stałych§ 70. Zbieżność szeregu nieskończonego; jego suma....................... 1§ 71. Szeregi o składnikach zespolonych....................... 4§ 72. Łączność sumy nieskończonej liczby składników....................... 5§ 73. Wpływ porządku składników szeregu nieskończonego na wartość sumy. Szeregi zbieżne bezwarunkowo i szeregi zbieżnebezwzględnie....................... 9§ 74. Dowód nierównoważności zbieżności bezwarunkowej i zbieżności bezwzględnej szeregu....................... 14§ 75. Szeregi zbieżne warunkowo; twierdzenie Riemanna....................... 18§ 76. Cechy zbieżności i rozbieżności szeregów; kryterium d’Alembert’a....................... 26§ 77. Kryterium Cauchy’ego....................... 31§ 78. Cecha Kummera. Prawidło Raabe’go; Szeregi ζ(s)....................... 36§ 79. Twierdzenie Dini’ego; kryteria logarytmiczne....................... 40§ 80. Twierdzenie Abel’a. Szeregi naprzemienne....................... 43§ 81. Dodawanie szeregów....................... 46§ 82. Przekształcanie szeregów wolno zbieżnych: wzór Eulera. Zastosowania....................... 48§ 82a. Inne metody przekształcania szeregów....................... 56§ 83. Metoda Kummera. Metoda Markowa....................... 58ROZDZIAŁ IX. Mnożenie szeregów. Szeregi podwójne§ 84. Twierdzenie Cesàro. Twierdzenie Abela....................... 63§ 85. Twierdzenie Cauchy’ego....................... 68§ 86. Mnożenie szeregów zbieżnych bezwzględnie. Mnożenie Dirichlet’a....................... 73§ 87. Szeregi iterowane; ich zbieżność i suma. Wpływ porządku sumowania na wartość sumy....................... 76§ 88. Szeregi iterowane bezwzględnie zbieżne; przekształcanie ich na szeregi zwykłe. Zastosowania....................... 80§ 88a. Warunek przemienności sumowania........................ 90§ 89. Ciągi podwójne; ich zbieżność i granice ....................... 91§ 90. Szeregi podwójne; ich zbieżność i suma. Szeregi podwójne bezwzględnie zbieżne........................ 96ROZDZIAŁ X. Teoria iloczynów nieskończonych§ 91. Iloczyny nieskończone; ich zbieżność i wartość. Przykłady....................... 102§ 92. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności iloczynu nieskończonego....................... 108§ 93. Iloczyny o czynnikach stale mniejszych lub stale większych od jedności....................... 111§ 94. Twierdzenie o zbieżności iloczynu ∏ (1+un) w razie zbieżności szeregów $∑u_n$ oraz $∑(u_n)^2$....................... 116§ 95. Sprowadzenie badania iloczynów do badania szeregów za pomocą logarytmowania. Iloczyny warunkowo zbieżne....................... 119§ 96. Iloczyny zbieżne bezwarunkowo i iloczyny zbieżne bezwzględnie....................... 122§ 97. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na szeregi i na odwrót....................... 126ROZDZIAŁ XI. Ułamki łańcuchowe§ 98. Wzór na redukty ułamka łańcuchowego....................... 131§ 99. Wzór na różnicę kolejnych reduktów. Przekształcanie ułamków łańcuchowych (skończonych) na szeregi i na odwrót....................... 136§ 100. Ułamki łańcuchowe nieskończone; ich zbieżność i wartość....................... 141§ 101. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne; rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe....................... 147§ 102. Rozwinięcia funkcji ex oraz tg x na ułamki nieskończone....................... 153§ 103. Niewymierność wymiernych potęg liczby e. Niewymierność liczby π....................... 158§ 104. Rozwinięcie liczby e na ułamek nieskończony arytmetyczny....................... 164ROZDZIAŁ XII. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej zespolonej§ 105. Punkt skupienia. Zbiory zamknięte....................... 167§ 106. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Dowód pewnika Zermelo dla zbiorów zamkniętych....................... 171§ 107. Ciągłość funkcji w pewnym zbiorze, zwyczajna i jednostajna. Twierdzenie o ciągłości jednostajnej funkcji ciągłej w zbiorze zamkniętym i ograniczonym....................... 174§ 108. Ograniczoność i zamkniętość zbioru wartości funkcji ciągłej w zbiorze ograniczonym i zamkniętym....................... 181§ 109. Funkcja funkcji....................... 183§ 110. Funkcje odwrotne ....................... 186ROZDZIAŁ XIII. Ciągi i szeregi funkcyj§ 111. Ciągi nieskończone funkcyj; zbieżność jednostajna ciągu funkcyj....................... 190§ 112. Ciągłość granicy ciągu jednostajnie zbieżnego funkcyj zbieżnych. Granica ciągu niejednostajnie zbieżnego funkcyjciągłych....................... 193§ 113. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby granica ciągu funkcyj ciągłych dla danego punktu była dla tego punktuciągłą ....................... 197§ 114. Ciągi zbieżne quasi-jednostajnie. Twierdzenie Arzelà....................... 198§ 115. Szeregi nieskończone funkcyj; ich zbieżność jednostajna i quasijednostajna. Twierdzenia o szeregach funkcyj ciągłych jednegoznaku....................... 202§ 116. Stosunek zbieżności jednostajnej do zbieżności bezwzględnej szeregu. Wpływ porządku składników na jednostajność zbieżności szereguzbieżnego bezwzględnie....................... 203§ 117. Granica sumy szeregu jednostajnie zbieżnego....................... 297ROZDZIAŁ XIV. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi wielomianów§ 118. Rozwijanie funkcyj wymiernych na szereg wielomianów....................... 210§ 119. Twierdzenie Weierstrassa o rozwijalności funkcyj ciągłej na szereg wielomianów. Ogólny wzór interpolacyjnyBorela....................... 215§ 120. Wzór interpolacyjny S. Bernsteina....................... 221§ 121. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi normalne....................... 225§ 122. Wnioski z twierdzenia Weierstrassa....................... 228§ 123. Wielomiany dające najlepsze przybliżenie funkcji ciągłej w danym przedziale....................... 232ROZDZIAŁ XV. Szeregi potęgowe§ 124. Promień i koło zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamard’a....................... 244§ 125. Ciągłość sumy szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności....................... 249§ 126. Zachowanie się szeregu potęgowego na obwodzie koła zbieżności....................... 250§ 126a. Szereg potęgowy, zbieżny na swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie....................... 256§ 127. Twierdzenie Abela....................... 259§ 128. Skończoność liczby pierwiastków szeregu potęgowego w otoczeniu punktu z=0. Wnioski....................... 262§ 129. Pochodna szeregu potęgowego. Zbieżność szeregu potęgowego. Wzór Maclaurina....................... 263§ 130. Szeregi według potęg z—a. Pojęcie o przedłużeniu analitycznym oraz o funkcji analitycznej....................... 268§ 131. Nierówność dla współczynników szeregu potęgowego, którego suma jest ograniczona na danym kole. Wnioski...... 270§ 132. Twierdzenie Weierstrassa o szeregu szeregów potęgowych.. 275

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219335