Teoria liczb

Wacław Sierpiński

GDML_Books, (1950), p.

Résumé

SPIS RZECZY PRZEDMOWA............. III ERRATA.................... VI ROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE § 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1 § 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2 § 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2 § 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3 § 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4 § 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4 § 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5 § 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8 § 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14 ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA § 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27 § 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29 § 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29 § 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33 § 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35 § 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37 § 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39 ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM § 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41 § 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46 § 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49 § 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50 § 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51 ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW § 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre’a.............. 53 § 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre’a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby $D^{(p-1)/2}$ według modułu p........63 § 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68 § 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71 § 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76 § 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79 § 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80 § 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83 § 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90 § 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange’a..............93 § 11. Twierdzenie Waringa............................... 102 ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE § 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112 § 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113 § 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116 § 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123 § 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125 § 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126 § 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132 § 8. Tożsamość Hermite’a dla funkcji E(x)....................... 134 ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$ I JEJ ODWRÓCENIE § 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136 § 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych $p_1,p_2,...,p_m$............. 138 § 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140 § 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143 § 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148 § 6. Odwrócenie wzoru $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$............................... 150 § 7. Funkcja Liouville’a.................................. 154 OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH § 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156 § 2. Dowód wzoru $lim_{x=∞} π(x)/x=0$.............................. 160 § 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161 ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE’A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI § 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168 § 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172 § 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175 § 4. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski z niego.............................. 177 § 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183 § 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów $p^α$ i $2p^α$........................ 187 § 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191 § 8. Moduł $2^α$ dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193 § 9. Własności wskaźników................................. 196 § 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre’a.............. 198 § 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201 ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI § 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205 § 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210 § 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213 § 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214 § 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216 § 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217 § 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219 § 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224 § 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226 ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA § 1. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ w liczbach całkowitych.............229 § 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233 § 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237 § 4. Równanie Fermata............. 242 ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA § 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251 § 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254 § 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259 ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE § 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262 § 2. Liczby Δk. Wzór $Δk = (-1)^k$................... 266 § 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267 § 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269 § 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270 § 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272 § 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274 § 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278 § 9. Twierdzenie Lagrange’a o ułamkach łańcuchowych........................... 290 § 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297 § 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298 ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA § 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305 § 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308 § 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310 § 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312 § 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314 ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE’A I SYMBOLU JACOBIEGO § 1. Lemat Gaussa...............323 § 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325 § 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326 § 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre’a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331 § 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335 § 6. Prawidło Eisensteina................................ 341 § 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346 ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH § 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351 § 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353 § 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357 § 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359 § 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363 § 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367 § 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370 § 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372 ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH § 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379 § 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383 § 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388 § 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389 § 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394 § 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396 § 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401 ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH § 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416 § 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417 § 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419 § 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421 § 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430 § 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431 § 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431 § 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435 § 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438 ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW § 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443 § 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446 § 3. Iloczyn ideałów..................................... 449 § 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450 § 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454 § 6. Ideały pierwsze.................................... 458 § 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459 § 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461 ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7 § 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463 § 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464 § 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478 ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489 PRZYPISY............................... 525 SKOROWIDZ NAZW.................. 532 SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535 SKOROWIDZ NAZWISK................ 536

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219326