Théorie de l'intégrale

Stanisław Saks

GDML_Books, (1933), p.

Résumé

PRÉFACE.............................................. III ERRATA............................................... VIII CHAPITRE I. Fonctions de figure élémentaire. Fonctions d'ensemble. Remarques préliminaires [§ 1].. 1 Termes et notations [§ 2-4].......................... 2 Intervalle. Figure élémentaire [§ 5].......................... 5 Fonctions de figure élémentaire [§ 6].......................... 6 Fonctions continues. Oscillation [§ 7].......................... 7 Fonctions additives. Variations [§ 8-9].......................... 7 Décomposition canonique de Jordan [§ 10].......................... 8 Fonctions monotones [§ 11].......................... 9 Ecarts des fonctions. Fonctions absolument continues [§ 12].......................... 10 Fonctions singulières. Décomposition de Lebesgue [§ 13].......................... 11 Fonctions d'une variable réelle [§ 14-15].......................... 17 CHAPITRE II. Mesure de Lebesgue. Ensembles et fonctions mesurables. Préliminaires [§ 1].......................... 22 Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24 Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26 Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33 Fonctions de point [§ 8].......................... 36 Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36 Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40 Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42 Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44 CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées. Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46 Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48 Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52 Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53 Fonctions singulières [§ 7].......................... 55 Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56 CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive) Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61 Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64 Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65 Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68 Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69 Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76 CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique). Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78 Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82 Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84 Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85 Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88 Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91 CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y) Préliminaires [§ 1].......................... 99 Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101 Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102 Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107 Fonctions a variation bornée et absolument continues de deux variables [§10]....................................................... 108 Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109 Théorème de Radó [§ 14].......................... 116 Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120 CHAPITRE VII. Intégrale de Perron Préliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122 Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126 Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128 Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128 Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132 Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137 Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138 Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139 CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée. Préliminaires [§ 1].......................... 142 Théorème de Baire [§ 2].......................... 144 Limites approximatives [§ 3].......................... 144 Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146 Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148 Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150 Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151 Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152 Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153 Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158 Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160 Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161 Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161 Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164 CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives. Préliminaires [§ 1].......................... 167 Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167 Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168 Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177 Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180 Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182 Condition (D) [§ 9].......................... 185 Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188 Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190 CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy. Préliminaires [§ 1].......................... 197 Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197 Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200 Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201 Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203 Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204 Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205 Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211 Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217 Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219 CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles. Préliminaires [§ 1].......................... 222 Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223 Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225 Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233 Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239 Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242 ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits. Généralités [§ 1].......................... 247 Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247 Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251 Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251 Espaces-produits [§ 9].......................... 257 Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259 NOTE. Sur la mesure de Haar par STEFAN BANACH.................................... 264 OUVRAGES CITÉS....................................................................... 273 INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285 INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285

Détail

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