Zasady algebry wyższej

Wacław Sierpiński

GDML_Books, (1946), p.

Résumé

SPIS RZECZY PRZEDMOWA........................................ V ROZDZIAŁ I. PERMUTACJE § 1. Permutacje elementów......................... 1 § 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2 § 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3 § 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5 ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI § 1. Wstęp historyczny............................. 7 § 2. Definicja wyznacznika...................... 8 § 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9 § 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11 § 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13 § 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14 § 7. Wnioski........................ 16 § 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19 § 9. Wyznacznik Vandermonde’a........................... 20 § 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25 § 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29 § 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30 § 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35 ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH § 1. Przekształcenia liniowe...................... 37 § 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39 § 3. Przykłady................. 40 § 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45 § 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47 § 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49 § 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51 § 9. Przykłady........................... 53 ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE § 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62 § 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64 ROZDZIAŁ V. MACIERZE § 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66 § 2. Własności iloczynu macierzy............... 69 § 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69 § 4. Macierz odwrotna...................... 70 § 5. Dzielenie macierzy..................... 74 § 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75 § 7. Krakowiany............. 76 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78 ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE § 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81 § 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82 § 3. Liczba i............... 84 § 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86 § 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89 § 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91 § 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93 § 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94 ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY § 1. Lemat Gaussa........... 98 § 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100 ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY § 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102 § 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105 § 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107 § 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109 § 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112 § 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115 § 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117 § 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118 § 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120 § 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122 § 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123 § 12. Wzory interpolacyjne Lagrange’a i Newtona................ 130 § 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132 § 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133 § 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136 § 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137 § 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141 § 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144 § 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146 § 20. Przykłady........................... 147 § 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149 § 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151 § 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152 ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE § 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157 § 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157 § 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy’ego...... 159 § 4. Dowód Waringa............................. 161 § 5. Wzory Newtona............................. 163 § 6. Wyróżnik równania......................... 167 ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA § 1. Równania 2-go stopnia....................... 169 § 2. Równania dwukwadratowe...................... 174 § 3. Równania 3-go stopnia....................... 175 § 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180 § 5. Równania 3-go stopnia....................... 184 § 6. Równania 4-go stopnia....................... 187 § 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193 § 8. Sposób Ferrari’ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194 § 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196 ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA § 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199 § 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201 § 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203 § 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204 § 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208 ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE § 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210 § 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213 § 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214 § 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217 § 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217 § 6. Dowód Liouville’a istnienia liczb przestępnych.................. 221 ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE § 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224 § 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226 § 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227 § 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233 § 5. Przedstawianie pierwiastków równania zn-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235 § 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239 ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI § 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241 § 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243 § 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistych niewymiernych............ 249 § 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251 § 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252 ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254 § 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256 § 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257 § 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259 § 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261 § 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262 § 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263 ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Twierdzenie Sturma..................... 265 § 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270 § 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273 § 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276 § 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278 ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAŃ § 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280 § 2. Tabliczka działania................. 281 § 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282 § 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285 § 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286 § 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288 § 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290 § 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295 ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA § 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299 § 2. Iloczyn podstawień....................................... 300 § 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302 § 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304 ROZDZIAŁ XIX. GRUPY § 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306 § 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310 § 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311 § 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312 § 5. Produkt grup......................................... 314 § 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315 § 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319 § 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322 § 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325 § 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326 § 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328 § 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330 § 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334 § 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336 § 15. Grupy o 4 elementach........................... 337 § 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338 § 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340 § 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342 § 19. Grupa Galois równania................................ 346 ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH § 1. Definicja ciała..................... 348 § 2. Przykłady ciał...................... 349 § 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359 § 4. Podciała. Ciała proste.............. 360 § 5. Ciała skończone...................... 363 § 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365 ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKI CZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS § 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371 § 2. Grupa Galois........................... 374 § 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376 § 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380 § 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384 § 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385 § 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389 § 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391 § 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393 § 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395 CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398 § 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400 § 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403 § 14. Przykłady........................................ 405 § 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409 § 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411 § 17. Równania czyste.................................. 413 § 18. Równania cykliczne............................... 416 § 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420 § 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423 § 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427 SKOROWIDZ NAZW......................... 429 SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433 SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434 ERRATA..................... 435

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219312