Funkcje analityczne

Antoni Zygmund ; Stanisław Saks

GDML_Books, (1938), p.

Résumé

PRZEDMOWA................. III ERRATA.................... VII WSTĘP TEORIA MNOGOŚCI § 1. Definicje podstawowe....... 1 § 2. Zbiory przeliczalne......... 3 § 3. Przestrzeń topologiczna abstrakcyjna..... 4 § 4. Zbiory domknięte i otwarte........ 6 § 5. Zbiory spójne....................... 11 § 6. Zbiory zwarte....................... 13 § 7. Przekształcenia ciągłe................ 15 § 8. Płaszczyzna........................... 17 § 9. Zbiory spójne na płaszczyźnie.......... 26 § 10. Siatki kwadratowe na płaszczyźnie.......... 32 § 11. Funkcje zespolone i rzeczywiste................. 36 § 12. Krzywe.................................... 38 § 13. Iloczyn kartezjański zbiorów...................... 41 ROZDZIAŁ I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ § 1. Funkcje ciągłe......................................... 43 § 2. Ciągi jednostajne i niemal jednostajnie zbieżne......... 46 § 3. Rodziny normalne funkcyj.......................... 49 § 4. Funkcje jednakowo ciągłe............................. 53 § 5. Różniczka zupełna................................. 54 § 6. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy-Riemanna.......... 56 § 7. Funkcja wykładnicza....................... 59 § 8. Funkcje trygonometryczne........................... 61 § 9. Argument....................................... 67 § 10. Logarytm................................. 70 § 11. Gałąź logarytmu, argumentu i potęgi.............. 73 § 12. Kąt między półprostymi....................... 76 § 13. Styczna do krzywej....................... 78 § 14. Przekształcenia homograficzne............... 79 § 15. Przekształcenia podobnościowe............. 85 § 16. Krzywe regularne..................... 89 § 17. Całka krzywoliniowa................. 90 § 18. Przykłady......................... 92 ROZDZIAŁ II. FUNKCJE HOLOMORFICZNE § 1. Pochodna w dziedzinie zespolonej......... 95 § 2. Funkcja pierwotna.................. 97 § 3. Różniczkowanie całki względem parametru zespolonego.......... 103 § 4. Twierdzenie Cauchy’ego dla prostokąta....... 105 § 5. Wzór Cauchy’ego dla układu prostokątów.................... 108 § 6. Ciągi niemal jednostajnie zbieżne funkcji holomorficznych...... 112 § 7. Twierdzenie Stieltjesa-Osgooda..................... 115 § 8. Twierdzenie Morery............. 116 ROZDZIAŁ III. FUNKCJE MEROMORFICZNE § 1. Szereg potęgowy w kole zbieżności................ 120 § 2. Twierdzenie Abela........................... 124 § 3. Rozwinięcie Log(1-z)............. 130 § 4. Szereg Laurenta. Pierścień zbieżności............ 132 § 5. Rozwinięcia Laurenta w otoczeniu pierścieniowym........ 136 § 6. Punkty osobliwe odosobnione......................... 138 § 7. Funkcje regularne, meromorficzne, wymierne.............. 140 § 8. Pierwiastki funkcji meromorficznej.................. 145 § 9. Pochodna logarytmiczna...................... 148 § 10. Twierdzenie Rouché..................... 150 § 11. Twierdzenie Hurwitza.................... 153 § 12. Odwzorowanie określone przez funkcje meromorficzne............. 156 § 13. Funkcje holomorficzne dwu zmiennych.................. 160 § 14. Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa................... 162 ROZDZIAŁ IV. ELEMENTARNE METODY GEOMETRYCZNE TEORII FUNKCJI § 1. Przesuwanie biegunów......................... 166 § 2. Twierdzenie Rungego. Twierdzenie Caychy’ego dla obszaru jednospójnego.......... 172 § 3. Gałąź logarytmu....................... 175 § 4. Wzór Jensena.......................... 176 § 5. Przyrosty logarytmu i argumentu wzdłuż krzywej...................... 178 § 6. Indeks punktu względem krzywej.............................. 181 § 7. Twierdzenie o residuach............................. 184 § 8. Metoda residuów w obliczaniu całek oznaczonych................ 188 § 9. Twierdzenie i wzór Cauchy’ego dla pierścienia................. 191 § 10. Definicja analityczna obszaru jednospójnego................. 198 § 11. Twierdzenie Jordana dla łamanej zamkniętej.................. 200 § 12. Definicja analityczna stopnia spójności obszaru............. 203 ROZDZIAŁ V. PRZEKSZTAŁCENIA WIERNE § 1. Definicja................................... 207 § 2. Przekształcenia homograficzne............... 209 § 3. Symetria względem okręgu.................... 210 § 4. Czynniki Blaschkego........................... 213 § 5. Lemmat Schwarza............................. 215 § 6. Twierdzenie Riemanna.................... 218 § 7. Twierdzenie Radó....................... 223 § 8. Wzory Schwarza-Christoffela................... 224 ROZDZIAŁ VI. FUNKCJE ANALITYCZNE § 1. Uwagi wstępne..................... 230 § 2. Element analityczny................ 231 § 3. Przedłużenie analityczne wzdłuż krzywej.................. 237 § 4. Funkcja analityczna........................... 238 § 5, Odwrócenie funkcji analitycznej.................... 244 § 6. Funkcje analityczne dowolnie przedłużalne w obszarze.................... 246 § 7. Twierdzenie Poincarégo-Volterry............................. 249 § 8. Funkcja analityczna jako przestrzeń abstrakcyjna.................... 250 § 9. Funkcje analityczne w otoczeniu pierścieniowym punktu................ 251 § 10. Funkcja analityczna w otoczeniu pierścieniowym jako przestrzeń abstrakcyjna............... 255 § 11. Punkty krytyczne.............................. 256 § 12. Punkty krytyczne algebraiczne.......................... 258 § 13. Twierdzenie pomocnicze algebry......................... 259 § 14. Funkcje o punktach krytycznych algebraicznych............ 261 § 15. Funkcje algebraiczne............................ 265 § 16. Powierzchnie Riemanna.......................... 267 ROZDZIAŁ II. FUNKCJE CAŁKOWITE § 1. Iloczyny nieskończone....................... 275 § 2. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie funkcyj całkowitych na iloczyny............. 283 § 3. Twierdzenie Mittag-Lefflera o rozkładzie funkcyj meromorficznych na ułamki proste............... 289 § 4. Metoda Cauchy’ego rozwijania funkcyj meromorficznych na ułamki proste.............. 294 § 5. Przykłady rozwinięć funkcyj całkowitych i meromorficznych................ 297 § 6. Rząd funkcji całkowitej.................... 306 § 7. Zależność rzędu funkcji całkowitej od spółczynników jej rozwinięcia na szereg Taylora......... 311 § 8. Wykładnik zbieżności pierwiastków funkcji całkowitej...................... 314 § 9. Iloczyn kanoniczny...................... 316 § 10. Twierdzenie Hadamarda.................... 318 § 11. Twierdzenie Borela o pierwiastkach funkcyj całkowitych................................ 324 § 12. Małe twierdzenie Picarda........................ 326 § 13. Twierdzenie Schottky’ego. Twierdzenie Montela. Wielkie twierdzenie Picarda........... 331 § 14. Twierdzenie Landau’a................ 338 ROZDZIAŁ VIII. FUNKCJE ELIPTYCZNE § 1. Uwagi ogólne o funkcjach okresowych............ 341 § 2. Rozwinięcie funkcji okresowej w szereg Fouriera............ 345 § 3. Twierdzenia ogólne o funkcjach eliptycznych.............. 348 § 4. Funkcja ρ(z)................ 353 § 5. Równanie różniczkowe funkcji ρ(z)..................... 356 § 6. Funkcje ζ(z) i σ(z)........................ 359 § 7. Budowanie funkcyj eliptycznych przy pomocy funkcji σ(z)............... 362 § 8. Wyrażanie funkcyj eliptycznych przez funkcje ζ(z) i ρ(z)........... 364 § 9. Twierdzenie algebraiczne o dodawaniu dla funkcji ρ(z)................. 368 § 10. Związki algebraiczne między funkcjami eliptycznymi................ 369 § 11. Funkcja modułowa J(τ)............................ 370 § 12. Dalsze własności funkcji J(τ).......................... 375 § 13. Rozwiązanie układu równań $g_2(ω,ω^{\prime }) = a, g_3(ω,ω^{\prime }) = b$............ 384 § 14. Całki eliptyczne.......................... 385 ROZDZIAŁ IX. SZEREGI DIRICHLETA § 1. Funkcja Γ(s)........................ 393 § 2. Funkcja B(p,q)..................... 398 § 3. Wzory Hankela na funkcję Γ(s)................... 399 § 4. Wzór Stirlinga............................... 402 § 5. Funkcja ζ(s) Riemanna....................... 405 § 6. Równanie funkcyjne funkcji ζ(s)................ 409 § 7. Pierwiastki funkcji ζ(s)...................... 410 § 8. Szeregi Dirichleta............................. 412 SKOROWIDZ NAZW....................... 421 SKOROWIDZ NAZWISK......................... 426 SKOROWIDZ ZNAKÓW............................... 427

Détail

EUDML-ID : urn:eudml:doc:219303