D'après le théorème connu du Lebesgue-Fubini si la fonction f(x,y) de deux variables x,y est sommable dans le rectangle P=(a,b;c,d), c'est-à-dire, s'il existe l'intégrale double finie ∫_{P}f(x,y)dxdy (1) (au sens de Lebesgue), on a constamment ∫_{F}dy∫_{E}f(x,y)dx =∫_{E}dx∫_{F}f(x,y)dy (2) pourvu que les ensembles mesurables E et F soient compris respectivement dans les intervalles (a,b) et (c,d). D'autre part, si la fonction f(x,y) est mesurable superficiellement et de signe constant, il suffit l'existence même de l'intégrale ∫_c^d dy ∫_a^b f(x,y)dx [ou ∫_a^b dx ∫_c^d f(x,y)dy] (3) pour qu'il existe l'intégral (1). Le but de cette note est de former l'exemple d'une fonction mesurable, mais de signe variable, telle que l'intégrale (1) n'existe pas, tandis que la relation (2) demeure toujours vraie.
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author = {G. Fichtenholz},
title = {Sur une fonction de deux variables sans int\'egrale double},
journal = {Fundamenta Mathematicae},
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Fichtenholz, G. Sur une fonction de deux variables sans intégrale double. Fundamenta Mathematicae, Tome 6 (1924) pp. 30-36. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv6i1p6bwm/