Soit E_0 un ensemble borné donné de points dans un espace à m dimensions, soit E un ensemble variable, contenu dans E_0 et mesurable (L). On appelle une fonction d'ensemble f(E) (dont la valeur f(E) est un nombre réel (fini) déterminé pour les sous - ensembles de E_0) additive (simplement) dans E_0, si sa valeur sur un ensemble somme de deux sous-ensembles mesurables de E_0 sans point commun est la somme de ses valeurs sur chacun de ces sous-ensembles. La fonction additive f(E) est dite continue dans E_0 si elle tend vers zéro avec le diamètre de E ∈ E_0 , elle est dite absolument continue, si elle tend vers zéro avec la mesure de E ∈ E_0. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une fonction additive et continue f(E) qui prend pour deux sous - ensembles E_1 et E_2 d'un ensemble borné E_0 des valeurs f(E_1) et f(E_2), prend, pour un sous-ensemble convenable (mesurable) de E_0 toute valeur intermédiaire entre f(E_1) et f(E_2).
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author = {Wac\l aw Sierpi\'nski},
title = {Sur les fonctions d'ensemble additives et continues},
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Sierpiński, Wacław. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. Fundamenta Mathematicae, Tome 3 (1922) pp. 240-246. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv3i1p25bwm/