Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré

Vieli, Francisco

Colloquium Mathematicae, Tome 68 (1995), p. 207-218 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library

Résumé

Il est bien connu qu’une fonction $f$ sur $ℝ^{n}$ est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l’équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut $Γ (n / 2) {(r \sqrt c / 2)}^{(2 - n) / 2} J_{(n - 2) / 2} (r \sqrt c) \cdot f (x)$ . Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l’opérateur ${(Δ + c)}^{k}$ où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu’une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n’aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu’une fonction bornée f dont le spectre est dans $S^{n - 1}$ vérifie ${(Δ + 4 π^{2})}^{k} f = 0$ où $k = ⌊ (n + 1) / 2 ⌋$ , et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.

Publié le : 1995-01-01

Zbl 0840.43002

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Vieli, Francisco. Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré. Colloquium Mathematicae, Tome 68 (1995) pp. 207-218. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-cmv68i2p207bwm/

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