Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind

Sami Omar

Sami Omar

Acta Arithmetica, Tome 92 (2000), p. 61-65 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library

Résumé

1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature $(r_{1}, r_{2})$ et de discriminant $d_{K}$ . Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l’ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par $C / l n (| d_{K} |)$ où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L’idée de cette dernière inégalité provient d’un théorème de densité (sous GRH) dû a S. Lang [La1]. Malgré les progrés numériques sur la question (voir [Om] et [To]), nous ne sommes toujours pas en mesure de confirmer expérimentalement cette conjecture. Cependant nous disposons d’un résultat théorique dû à A. Neugebauer [Ne1], [Ne2] qui montre que la hauteur du premier zéro est majorée par $C / l n l n l n (| d_{K} |)$ . Dans ce qui suit nous donnerons une amélioration de cette inégalité qui sous (GRH) aboutit à la majoration $C / l n l n (| d_{K} |)$ . L’outil crucial de la preuve, comme nous le verrons, sont les formules explicites de Weil. Dans la suite, la notation ≪ réfère à une constante absolue alors que la notation $≪_{n}$ réfère à une constante qui dépend uniquement de n.

Publié le : 2000-01-01

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Sami Omar. Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Acta Arithmetica, Tome 92 (2000) pp. 61-65. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav95z1p61bwm/

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