Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées
A. Movahhedi ; M. Zahidi
Acta Arithmetica, Tome 92 (2000), p. 239-250 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library
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1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant D=DL/ℚ. Si l’entier D n’est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d’idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons (D/p)=(-1)n-g. Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition (p)=P₁e₁...Pgeg de p en produit d’idéaux premiers Pi de L. Supposons que p n’est pas sauvagement ramifié dans L. Si fi désigne le degré résiduel de Pi dans l’extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par vp(D)=∑i=1g(ei-1)fi [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification ei sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]: (d/p) = (-1)F (p/E) avec E = ∏2∤fi ei et F = ∑2|fi1. Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification ei. Cet article s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.

Publié le : 2000-01-01
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A. Movahhedi; M. Zahidi. Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées. Acta Arithmetica, Tome 92 (2000) pp. 239-250. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav92i3p239bwm/

[00000] [1] P. Barrucand et F. Laubie, Sur les symboles des restes quadratiques des discriminants, Acta Arith. 48 (1987), 81-88.

[00001] [2] J. P. Buhler, Icosahedral Galois Representations, Lecture Notes in Math. 654, Springer, 1978.

[00002] [3] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, reprinted by Chelsea, 1952.

[00003] [4] D. M. Dribin, Permutation groups, Ann. of Math. 38 (1937), 739-749.

[00004] [5] H. Hasse, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischen Grundlage, Math. Z. 31 (1930), 565-582. | Zbl 56.0167.02

[00005] [6] G. Kientega, Sur les corps algébriques du quatrième degré, thèse de troisième cycle, Publ. Univ. Paris VI, 1980.

[00006] [7] W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, 2nd ed., Springer, Berlin; PWN-Polish Sci. Publ., Warszawa, 1990. | Zbl 0717.11045

[00007] [8] J. Neukirch, Class Field Theory, Grundlehren Math. Wiss. 280, Springer, 1986.

[00008] [9] J.-P. Serre, Corps locaux, troisième édition, Hermann, Paris, 1968.

[00009] [10] G. E. Wahlin, The factorisation of the rational primes in a cubic domain, Amer. J. Math. 44 (1922), 191-203. | Zbl 48.0178.03

[00010] [11] E. Weiss, Algebraic Number Theory, reprinted by Chelsea, 1963.