1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ,K,z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans ℂ le polynôme σIrr(θ,K,z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont été définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l’algèbre , où (r₁,r₂) désigne la signature du corps K, par la suite de ses conjugués de module > 1 et on note leur ensemble dans A. D’après le théorème 1 de [7], l’ensemble est fermé dans A seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d ∈ ℤ¯. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d’entiers algébriques généralisant l’ensemble en rajoutant aux éléments de les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l’on obtient alors un ensemble qu’on peut définir comme étant l’ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σIrr(θ,K,z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L’ensemble coïncide avec l’ensemble seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble.
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Toufik Zaïmi. Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot. Acta Arithmetica, Tome 84 (1998) pp. 141-144. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav87i2p141bwm/
[000] [1] B. Benzaghou, Anneaux de Fatou, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, Théorie des nombres, 9-ième année (1968/69), no. 9, 8 p.
[001] [2] A. M. Bergé et J. Martinet, Notions relatives de régulateurs et de hauteurs, Acta Arith. 54 (1989), 155-170. | Zbl 0642.12011
[002] [3] M. J. Bertin, K-nombres de Pisot et de Salem, ibid. 68 (1994), 113-131.
[003] [4] C. Pisot, La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 7 (1938), 205-248. | Zbl 64.0994.01
[004] [5] T. Vijayaraghavan, On the fractional parts of the powers of a number (II), Proc. Cambridge Philos. Soc. 37 (1941), 349-357. | Zbl 67.0988.02
[005] [6] T. Zaïmi, Sur les nombres de Pisot relatifs, thèse de l'université Paris 6, Mai 1994.
[006] [7] T. Zaïmi, Sur la fermeture de l'ensemble des K -nombres de Pisot, Acta Arith. 83 (1998), 363-367.