Distances dans la suite des multiples d'un point du tore à deux dimensions

Nicolas Chevallier

Acta Arithmetica, Tome 76 (1996), p. 47-59 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library

Résumé

Introduction. Soit θ un élément de ¹=ℝ/ℤ. Considérons la suite des multiples de θ, $x=(nθ)_{n∈ ℕ}$. Pour tout n ∈ ℕ, ordonnons les n+1 premiers termes de cette suite, 0 = y₀ ≤ y₁ ≤...≤ yₙ ≤ 1 = pθ, p=0,...,n. La suite (y₀,...,yₙ) découpe l’intervalle [0,1] en n+1 intervalles qui ont au plus trois longueurs distinctes, la plus grande de ces longueurs étant la somme des deux autres. Cette propriété a été conjecturé par Steinhaus, elle est étroitement liée au développement en fraction continue de θ. On peut aussi la démontrer directement [So]. Lorsque n = qₖ-1, où qₖ est le dénominateur d’une réduite de θ, les intervalles n’ont que deux longueurs possibles, la plus grande étant inférieure au double de la plus petite. Ainsi, la distance du milieu d’un grand intervalle, à la suite $(pθ)_{p≤n}$, est inférieure à la longueur d’un petit intervalle. Si θ est irrationnel, la suite $(nθ)_{n∈ ℕ}$ vérifie donc la propriété suivante (avec c=1): Il existe une infinité d’entiers n tels que la distance maximale des points du tore à la suite $(pθ)_{p≤n}$ soit comparable à la distance mutuelle des points les plus rapprochés de la suite $(pθ)_{p≤n}$, i.e., ∃ c ∈ ℝ ∃ I infini ⊆ ℕ, ∀ n ∈ I, sup d(x,0,θ,...,nθ): x ∈ ¹ ≤ c infd(pθ,qθ): p ≠ q 0 ≤ p,q ≤ n. Nous nous proposons dans ce travail d’étudier la même propriété pour les θ appartenant à ²=(ℝ/ℤ)². Contrairement à la dimension 1, nous montrons qu’il existe des θ ∈ ² dont l’ensemble des multiples est dense et tels que la propriété précédente soit fausse. Nous montrons aussi que l’ensemble de ces θ est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue de ². Ceci est l’objet des paragraphes 3 et 4. Pour démontrer ce résultat, on utilise la notion de meilleure approximation de θ, qui remplace le développement en fraction continue. Les meilleures approximations nous permettent, en modifiant légèrement θ, de nous ramener à l’étude de sous-groupes finis de ². Dans les paragraphes 1 et 2 on donne deux lemmes, l’un sur les meilleures approximations d’un couple d’irrationnels, l’autre sur la répartition des sous-groupes finis de ². On en déduit des corollaires simples sur les meilleures approximations d’un couple d’irrationnels, l’autre sur la répartition des sous-groupes finis de ². On en déduit des corollaires simples sur le nombre de distances minimales (corollaire 1.2(2)) dans la suite $(pθ)_{p≤n}$ et sur la répartition de cette suite lorsque θ est mal approximable.

Détail

Publié le : 1996-01-01
EUDML-ID : urn:eudml:doc:206836

Bibliographie

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