Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini

Mireille Car

Mireille Car

Acta Arithmetica, Tome 69 (1995), p. 229-242 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library

Résumé

Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit $_{q}$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l’arithmétique de l’anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l’anneau $_{q} [T]$ a conduit à étendre à $_{q} [T]$ de nombreuses questions de l’arithmétique classique. L’équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps $_{q} ((T^{- 1}))$ des séries de Laurent formelles, complété du corps $_{q} (T)$ des fractions rationnelles pour la valuation à l’infini et l’intervalle [0,1[ est remplacé par l’idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l’équirépartition modulo 1 dans le corps $_{q} ((T^{- 1}))$ qui s’est révélée fructueuse puisqu’elle permet l’utilisation d’un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l’équirépartition modulo 1 de la suite $(H^{1 / 2})$ , H décrivant la suite des polynômes de $_{q} [T]$ admettant une racine carrée $H^{1 / 2}$ dans le corps $_{q} ((T^{- 1}))$ , et, plus généralement, celle de la suite $(H^{1 / l})$ , H décrivant la suite des polynômes de $_{q} [T]$ admettant une racine l-ième $H^{1 / l}$ dans le corps $_{q} ((T^{- 1}))$ . C’est ce qui est fait dans ce qui suit, où l’on précise ce que l’on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite $(H^{1 / l})$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite $(P^{1 / l})$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de $_{q} [T]$ admettant une racine l-ième dans le corps $_{q} ((T^{- 1}))$ .

Publié le : 1995-01-01

Zbl 0819.11026

EUDML-ID : urn:eudml:doc:206685

@article{bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav69i3p229bwm,
     author = {Mireille Car},
     title = {R\'epartition modulo 1 dans un corps de s\'eries formelles sur un corps fini},
     journal = {Acta Arithmetica},
     volume = {69},
     year = {1995},
     pages = {229-242},
     zbl = {0819.11026},
     language = {fra},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav69i3p229bwm}
}

Mireille Car. Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini. Acta Arithmetica, Tome 69 (1995) pp. 229-242. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav69i3p229bwm/

Bibliographie

[000] [1] L. Carlitz, Diophantine approximations in fields of characteristic p, Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 187-208. | Zbl 0046.04801

[001] [2] A. Dijksma, Uniform distribution of polynomials over GF{q,x} in GF[q,x], part I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 72 (1969), 376-383. | Zbl 0183.31402

[002] [3] A. Dijksma, Uniform distribution of polynomials over GF{q,x} in GF[q,x], part II, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 73 (1970), 187-195. | Zbl 0199.37201

[003] [4] D. R. Hayes, The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles, Acta Arith. 11 (1966), 461-488. | Zbl 0151.03902

[004] [5] D. R. Hayes, The distribution of irreducibles in GF[q,x], Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 101-127. | Zbl 0139.27502

[005] [6] R. Lidl and H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and Their Applications, Cambridge University Press, 1986. | Zbl 0629.12016

[006] [7] D. de Mathan, Approximations diophantiennes dans un corps local, Bull. Soc. Math. France Mém. 21 (1970). | Zbl 0221.10037

[007] [8] G. Rhin, Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini, Dissertationes Math. 95 (1972). | Zbl 0252.10036